Bài 47 trang 126 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

LG a

Viết phương trình mp(P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình \(2x + y - \sqrt 5 z = 0\) một góc \({60^0}.\)

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng (P) chứa Oz nên có dạng Ax+By=0\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = (A;B;0).\)

Ta có \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (2;1; - \sqrt 5 ).\) Theo giả thiết của bài toán :

\(\eqalign{  & \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right)} \right| = {{\left| {2A + B} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {4 + 1 + 5} }} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \cos {60^0} = {1 \over 2}  \cr  &  \Leftrightarrow 2\left| {2A + B} \right| = \sqrt {10} .\sqrt {{A^2} + {B^2}}   \cr  &  \Leftrightarrow 6{A^2} + 16AB - 6{B^2} = 0. \cr} \)

Lấy B = 1 ta có

\(6{A^2} + 16A - 6 = 0 \Rightarrow \left[ \matrix{  {A_1} = {1 \over 3} \hfill \cr  {A_2} =  - 3. \hfill \cr}  \right.\)

Vậy có hai mặt phẳng (P) :

\({1 \over 3}x + y = 0; - 3x + y = 0.\)

LG b

Viết phương trình mp(Q) đi qua A(3;0;0), C(0;0;1) và tạo với mặt phẳng (Oxy) góc \({60^0}.\)

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng (Q) đi qua A, C và tạo với mp(Oxy) góc 60⁰ nên (Q) cắt Oy tại điểm B(0;b;0) khác gốc O\( \Rightarrow b \ne 0.\)

Khi đó phương trình của mặt phẳng (Q) là :

\({x \over 3} + {y \over b} + {z \over 1} = 1\) hay \(bx +3y+ 3bz - 3b = 0\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}}  = (b;3;3b).\)

Mặt phẳng (Oxy) có vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k (0;0;1).\) Theo giả thiết, ta có

\(\eqalign{  & \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow k } \right)} \right| = \cos {60^0} \Leftrightarrow {{\left| {3b} \right|} \over {\sqrt {{b^2} + 9 + 9{b^2}} }} = {1 \over 2}  \cr  &  \Leftrightarrow \left| {6b} \right| = \sqrt {10{b^2} + 9}  \Leftrightarrow {b^2} = {9 \over {26}} \Leftrightarrow b =  \pm {3 \over {\sqrt {26} }}. \cr} \)

Vậy có hai mặt phẳng (Q) :

\(\eqalign{  & x - \sqrt {26} y + 3z - 3 = 0.  \cr  & x + \sqrt {26} y + 3z - 3 = 0. \cr} \)