Bài 5 trang 120 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh ràng bốn điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi O là trung điểm AH. Chứng minh rằng E, F thuộc đường tròn (O;OA).

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Ta có \(\Delta BFC\) vuông tại \(F \Rightarrow IF = \dfrac{1}{2}BC = IB = IC\,\,\left( 1 \right)\) (trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).

\(\Delta BEC\) vuông tại \(E \Rightarrow IE = \dfrac{1}{2}BC = IB = IC\,\,\left( 2 \right)\) (trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow IE = IF = IB = IC \Rightarrow \) bốn điểm \(B,\,\,F,\,\,E,\,\,C\) cùng thuộc đường tròn tâm \(I\) đường kính \(BC\).

b) Ta có:

\(\Delta AEH\) vuông tại \(E \Rightarrow OE = \dfrac{1}{2}AH = OA = OH\,\,\,\left( 3 \right)\) (trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).

\(\Delta AFH\) vuông tại \(F \Rightarrow OF = \dfrac{1}{2}AH = OA = OH\,\,\left( 4 \right)\) (trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow OE = OF = OA = OH \Rightarrow \) bốn điểm \(A,\,\,F,\,\,E,\,\,H\) cùng thuộc đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AH\).

Vậy \(E,F \in \left( {O;OA} \right)\).