Bài 45 trang 63 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho tứ diện đều ABCD, AA₁ là một đường cao của tứ diện. Gọi I là trung điểm của AA₁. Mặt phẳng (BCI) chia tứ diện đã cho thành hai tứ diện. Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện đó.

Lời giải chi tiết

Gọi N là trung điểm của BC và J là giao điểm của NI với AD, khi đó mp(BCI) chia tứ diện đã cho thành hai tứ diện BCDJ và ABCJ.

Dễ thấy \({\rm{AJ = }}{1 \over 4}AD.\)

Vì \({\rm{A}}{{\rm{A}}_1} \bot mp(BCD)\) nên mọi điểm thuộc \({\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\) cách đều B,C, D.

Khi đó, tâm O₁ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCDJ là giao điểm của \({\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\) với đường trung trực của JD (xét trong mp(\({\rm{A}}{{\rm{A}}_1}D\))).

Tương tự như trên, tâm O₂ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCJ là giao của với đường trung trực của AJ ( xét trong mp(ADD₁))(DD₁ là đường cao kẻ từ đỉnh D của tứ diện ABCD).

Gọi E và F lần lượt là trung điểm của DJ và AJ. Xét tứ giác nội tiếp \({O_1}{A_1}DE\) (hình 89b), ta có

\(\eqalign{  & AE.AD = A{O_1}{\rm{.A}}{{\rm{A}}_1}  \cr  &  \Rightarrow A{O_1} = {{AE.AD} \over {A{A_1}}}. \cr} \)

Mặt khác

\({\rm{A}}{{\rm{A}}_1} = {{a\sqrt 6 } \over 3},AE = {a \over 4} + {{3a} \over 8} = {{5a} \over 8}.\)

Từ đó

\(A{O_1} = {{5a.a} \over {8.{{a\sqrt 6 } \over 3}}} = {{5a\sqrt 6 } \over {16}}.\)

Và do đó \({A_1}{O_1} = {A_1}A - A{O_1} \)

\(= {{a\sqrt 6 } \over 3} - {{5a\sqrt 6 } \over {16}} = {{a\sqrt 6 } \over {48}}\)

Vậy bán kính \({R_1}\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCDJ  là

\(\eqalign{  & R_1^2 = {O_1}{D^2} = {A_1}O_1^2 + {A_1}{D^2}\cr&\;\;\;\;\;\; = {{6{a^2}} \over {{{48}^2}}} + {{3{a^2}} \over 9} = {{{a^2}} \over {48.8}} + {{{a^2}} \over 3} = {{129.{a^2}} \over {48.8}}  \cr  &  \Rightarrow {R_1} = {{a\sqrt {129} } \over {8\sqrt 6 }}. \cr} \)

Từ giác \({O_2}{D_1}FA\) nội tiếp đường tròn nên

\({\rm{D}}{{\rm{D}}_1}.D{O_2} = DF.DA \Rightarrow D{O_2} = {{DF.DA} \over {D{D_1}}}.\)

Mặt khác

\(DF = {{3a} \over 4} + {a \over 8} = {{7a} \over 8},DA = a,{\rm{D}}{{\rm{D}}_1} = {{a\sqrt 6 } \over 3},\) từ đó

\(D{O_2} = {{{{7a} \over 8}.a} \over {{{a\sqrt 6 } \over 3}}} = {{21a\sqrt 6 } \over {8.6}} = {{7a\sqrt 6 } \over {16}}.\)

Suy ra \({{\rm{D}}_1}{{\rm{O}}_2} = {{7a\sqrt 6 } \over {16}} - {{a\sqrt 6 } \over 3} = {{5a\sqrt 6 } \over {48}}\) và do đó, bán kính \({R_2}\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCJ là

\(R_2^2 = {O_2}A_2^2 = {O_2}D_1^2 + {D_1}{A^2} \)

\(= {{25{a^2}.6} \over {{{48}^2}}} + {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} \)

\(= {{25{a^2}} \over {48.8}} + {{{a^2}} \over 3} = {{153{a^2}} \over {48.8}},\)

Từ đó \({R_2} = {{a\sqrt {153} } \over {8\sqrt 6 }}.\) Vậy \({{{R_1}} \over {{R_2}}} = {{a\sqrt {129} } \over {8\sqrt 6 }}:{{a\sqrt {153} } \over {8\sqrt 6 }} = \sqrt {{{43} \over {51}}} .\)