Bài 43 trang 63 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Xác định các hệ số a, b và c để cho hàm số \(y = ax^2 + bx + c\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \({3 \over 4}\) khi  \(x = {1 \over 2}\) và nhận giá trị bằng 1 khi x = 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Lời giải chi tiết

Đặt \(f(x) = ax^2 + bx + c\).

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
{x_1} = - {b \over {2a}} \hfill \cr 
f({1 \over 2}) = {1 \over 4}a + {1 \over 2}b + c \hfill \cr 
f(1) = a + b + c \hfill \cr} \right.\)

Tìm a, b, c thỏa hệ:

\(\left\{ \matrix{
- {b \over {2a}} = {1 \over 2} \hfill \cr 
{1 \over 4}a + {1 \over 2}b + c = {3 \over 4} \hfill \cr 
a + b + c = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a + b = 0 \hfill \cr 
a + 2b + 4 = 3 \hfill \cr 
a + b + c = 1 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 1 \hfill \cr 
b = - 1 \hfill \cr 
c = 1 \hfill \cr} \right.\) 

Vậy \(y = x^2 – x + 1\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số: