Bài 4 trang 31 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho khối làng trụ đứng \(ABC.A’B'C’\) có diện tích đáy bằng \(S\) và \(AA' = h\). Một mặt phẳng \((P)\) cắt các cạnh \(AA', BB’, CC'\) lần lượt tại \({A_1},{B_1}\) và . Biết \(A{A_1} = a,B{B_1} = b,CC' = c\).

LG a

Tính thể tích hai phần của khối lăng trụ được phân chia bởi mặt phẳng \((P)\).

Giải chi tiết:

Kẻ đường cao \(AI\) của tam giác \(ABC\) thì \(AI \bot \left( {BCC'B'} \right)\) \(\Rightarrow AI = d\left( {{A_1};\left( {BCC'B'} \right)} \right)\). Ta có:

\(\eqalign{
& {V_{_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}}} = {V_{{A_1}.ABC}} + {V_{{A_1}BC{C_1}{B_1}}} \cr 
& = {1 \over 3}{\rm{aS + }}{1 \over 3}{S_{BC{C_1}{B_1}}}.AI \cr 
& = {1 \over 3}aS + {1 \over 3}.{1 \over 2}\left( {b + c} \right).BC.AI \cr 
& = {1 \over 3}aS + {1 \over 3}\left( {b + c} \right)S = {1 \over 3}\left( {a + b + c} \right)S \cr 
& {V_{{A_1}{B_1}{C_1}A'B'C'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} \cr 
& = Sh - {1 \over 3}\left( {a + b + c} \right)S = {1 \over 3}\left[ {\left( {h - a} \right) + \left( {h - c} \right) + \left( {h - c} \right)} \right]S \cr} \)

LG b

Với điều kiện nào của \(a, b, c\) thì thể tích hai phần đó bằng nhau ?

Giải chi tiết:

\({V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = {V_{{A_1}{B_1}{C_1}.A'B'C'}} \Leftrightarrow {1 \over 3}\left( {a + b + a} \right)S = {1 \over 2}Sh \Leftrightarrow 3h = 2\left( {a + b + c} \right)\)