Bài 4 trang 10 Vở bài tập toán 9 tập 2

Không cần vẽ  hình, hãy cho biết nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao:

Chú ý: Trong bài tập này, ta cần xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (để suy ra số nghiệm của hệ phương trình mà không cần vẽ hai đường thẳng đó. Muốn vậy, ta phải dựa vào hệ số góc và tung độ gốc đối của chúng).

LG a

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 3 - 2x\\y = 3x - 1\end{array} \right.\) 

Phương pháp giải:

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\a'x + b'y = c'\,\,\,(2)\end{array} \right.\) có \(d\) là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) và \(d'\) là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right)\), khi đó

Trường hợp 1. \(d \cap d' = A\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow \) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\);

Trường hợp 2. \(d//d' \Leftrightarrow \) Hệ phương trình vô nghiệm; 

Trường hợp 3. \(d \equiv d' \Leftrightarrow \) Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(y = 3 - 2x\) có hệ số góc là \( - 2\)

Đường thẳng \(y = 3x - 1\) có hệ số góc là \(3\) 

Vì hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau nên chúng cắt nhau tại một điểm.

Do đó, hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

LG b

\(\left\{ \begin{array}{l}y =  - \dfrac{1}{2}x + 3\\y =  - \dfrac{1}{2}x + 1\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\a'x + b'y = c'\,\,\,(2)\end{array} \right.\) có \(d\) là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) và \(d'\) là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right)\), khi đó

Trường hợp 1. \(d \cap d' = A\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow \) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\);

Trường hợp 2. \(d//d' \Leftrightarrow \) Hệ phương trình vô nghiệm; 

Trường hợp 3. \(d \equiv d' \Leftrightarrow \) Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(y =  - \dfrac{1}{2}x + 3\) có hệ số góc là \( - \dfrac{1}{2}\)  và tung độ gốc là \(3.\)

Đường thẳng \(y =  - \dfrac{1}{2}x + 1\) có hệ số góc là \( - \dfrac{1}{2}\)  và tung độ gốc là \(1.\)

Vì hai đường thẳng có hệ số góc bằng nhau nhưng có tung độ gốc khác nhau nên chúng song song.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

LG c

\(\left\{ \begin{array}{l}2y =  - 3x\\3y = 2x\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\a'x + b'y = c'\,\,\,(2)\end{array} \right.\) có \(d\) là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) và \(d'\) là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right)\), khi đó

Trường hợp 1. \(d \cap d' = A\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow \) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\);

Trường hợp 2. \(d//d' \Leftrightarrow \) Hệ phương trình vô nghiệm; 

Trường hợp 3. \(d \equiv d' \Leftrightarrow \) Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2y =  - 3x\\3y = 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - \dfrac{3}{2}x\\y = \dfrac{2}{3}x\end{array} \right.\)

Đường thẳng \(y =  - \dfrac{3}{2}x\) có hệ số góc là \( - \dfrac{3}{2}\)

Đường thẳng \(y = \dfrac{2}{3}x\) có hệ số góc là \(\dfrac{2}{3}\) 

Vì hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau nên chúng cắt nhau tại một điểm.

Do đó, hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

LG d

\(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 3\\x - \dfrac{1}{3}y = 1\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\a'x + b'y = c'\,\,\,(2)\end{array} \right.\) có \(d\) là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) và \(d'\) là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right)\), khi đó

Trường hợp 1. \(d \cap d' = A\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow \) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\);

Trường hợp 2. \(d//d' \Leftrightarrow \) Hệ phương trình vô nghiệm; 

Trường hợp 3. \(d \equiv d' \Leftrightarrow \) Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 3\\x - \dfrac{1}{3}y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 3\\y = 3x - 3\end{array} \right.\)

Hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ là \(y = 3x - 3\) nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.