Bài 31 trang 75 SGK Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hai tam giác đồng dạng có tỉ số chu vi là \(\dfrac{15}{17}\) và hiệu độ dài hai cạnh tương ứng của chúng là \(12,5 cm\). Tính hai cạnh đó.

Lời giải chi tiết

Giả sử \(∆A'B'C'\) đồng dạng \(∆ABC\), hiệu độ dài tương ứng của \(A'B'\) và \(AB\) là \(12,5 cm\).

Vì \(∆A'B'C'\) đồng dạng \(∆ABC\) (giả thiết) nên ta có: 

\(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{B'C'}}{{BC}} = \dfrac{{C'A'}}{{CA}} \)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{B'C'}}{{BC}} = \dfrac{{C'A'}}{{CA}} \)\(\,= \dfrac{{A'B' + B'C' + C'A'}}{{AB + BC + CA}}\)\(\, = \dfrac{{{C_{A'B'C'}}}}{{{C_{ABC}}}} = \dfrac{{15}}{{17}}\)

(với \(C_{ABC}\) và \(C_{A'B'C'}\) lần lượt là chu vi của hai tam giác \(ABC, A'B'C'\)) 

Do đó, \(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} =\dfrac{{15}}{{17}}\) 

\(\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{A'B'}} =\dfrac{{17}}{{15}}\) 

\(\eqalign{
& \Rightarrow {{AB} \over {A'B'}} - 1 = {{17} \over {15}} - 1 \cr
& \Rightarrow {{AB - A'B'} \over {A'B'}} = {{17 - 15} \over {15}} \cr
& \Rightarrow {{12,5} \over {A'B'}} = {2 \over {15}} \cr} \)

\( \Rightarrow A'B' = \dfrac{{15}}{2}.12,5 = 93,75\,cm\)

Lại có: \(AB - A'B' = 12,5\,cm\)

\(\Rightarrow AB = 12,5 + 93,75 = 106,25\,\,cm.\)