Bài 29 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Viết phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {1; - 1;1} \right)\) và cắt cả hai đường thẳng sau:

\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr 
y = t \hfill \cr 
z = 3 - t \hfill \cr} \right.\,\,;\,\,d':\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = - 1 - 2t \hfill \cr 
z = 2 + t \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết

Lấy điểm \(M\left( {1 + 2t,t,3 - 1} \right)\) nằm trên d và điểm \(M'\left( {t', - 1 - 2t',2 + t'} \right)\) nằm trên d’.
Rõ ràng \(A \notin d\) và \(A \notin d'\). Ta tìm t và t’ sao cho A, M, M’ thẳng hàng, tức \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM'} \) cùng phương.
Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \left( {2t,1 + t,2 - t} \right);\overrightarrow {AM'}  = \left( { - 1 + t', - 2t',1 + t'} \right)\). Do đó:

$$\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM'} } \right] = \left( {\left| \matrix{
{1 + t}\,\,\,\,\,{2 - t} \hfill \cr 
- 2t'\,\,\,\,\,\,{1 + t'} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
{2 - t}\,\,\,\,\,\,\,\,\,2t \hfill \cr 
{1 + t'}\,\, \,\,{- 1 + t' }\hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{1 + t} \hfill \cr 
{- 1 + t'}\,\,\,\,{ - 2t'} \hfill \cr} \right|} \right) \cr 
& = \left( {1 + t + 5t' - tt'; - 2 - t + 2t' - 3tt';1 + t - t' - 5tt'} \right) \cr} $$

Hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM'} \) cùng phương khi và chỉ khi \(\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM'} } \right] = \overrightarrow 0 \) hay: 

\(\left\{ \matrix{
1 + t + 5t' - tt' = 0 \hfill \cr 
- 2 - t + 2t' - 3tt' = 0 \hfill \cr 
1 + t - t' - 5tt' = 0 \hfill \cr} \right.\)

Khử số hạng tt’ từ các phương trình trên, ta được hệ

\(\left\{ \matrix{
5 + 4t + 13t' = 0 \hfill \cr 
4 + 4t + 26t' = 0 \hfill \cr} \right.\).

Suy ra \(t =  - {3 \over 2};t' = {1 \over {13}}\). Khi đó \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - 3; - {1 \over 2};{7 \over 2}} \right)\).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua A và M, \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow {AM}  = \left( { - 6; - 1;7} \right)\) nên có phương trình tham số là: 

\(\left\{ \matrix{
x = 1 - 6t \hfill \cr 
y = - 1 - t \hfill \cr 
z = 1 + 7t \hfill \cr} \right.\)