Bài 27 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho đường thẳng 

\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = 8 + 4t \hfill \cr 
z = 3 + 2t \hfill \cr} \right.\)

và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 7 = 0\).

LG a

Tìm một vectơ chỉ phương của d và một điểm nằm trên d.

Lời giải chi tiết:

Một vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u  = \left( {1;4;2} \right)\). Cho t = 0 ta có một điểm \({M_0}\left( {0;8;3} \right)\) nằm trên d.

LG b

Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P).

Lời giải chi tiết:

Vectơ pháp tuyến của mp(P) là \({\overrightarrow n _P} = \left( {1;1;1} \right)\).

Gọi \(\left( \alpha  \right)\)là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với cả \(\overrightarrow u \) và \({\overrightarrow n _P}\) nên ta lấy \({\overrightarrow n _{\left( \alpha  \right)}} = \left[ {\overrightarrow u ;{{\overrightarrow n }_P}} \right] = \left( {2;1; - 3} \right)\).

\(Mp\left( \alpha  \right)\) đi qua \({M_0}\left( {0;8;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \({\overrightarrow n _\alpha } = \left( {2;1; - 3} \right)\) nên có phương trình là: \(2\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 8} \right) - 3\left( {z - 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + y - 3z + 1 = 0\)

LG c

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).

Lời giải chi tiết:

Vì d không vuông góc với (P) nên hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng d’, d’ là giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và (P): 

\(\left\{ \matrix{
x + y + z - 7 = 0 \hfill \cr 
2x + y - 3z + 1 = 0 \hfill \cr} \right.\)

Cho z = 0 ta có x = – 8; y = 15, d’ qua A(– 8; 15; 0).

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;1;1} \right)\\
\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {2;1; - 3} \right)\\
\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} } \right] = \left( { - 4;5; - 1} \right)
\end{array}\)

d’ đi qua A(– 8; 15; 0) và nhận \(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} } \right] = \left( { - 4;5; - 1} \right)\) làm VTCP nên có phương trình tham số là: 

\(\left\{ \matrix{
x = - 8 - 4t \hfill \cr 
y = 15 + 5t \hfill \cr 
z = - t \hfill \cr} \right.\)