Bài 26 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Dùng công thức cộng trong lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực \(\varphi \), ta có  \({\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)^2} = \cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi \).

Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức \(\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi \). Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở bài 2.

Giải chi tiết:

Với mọi \(\varphi \) ta có: \({\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)^2} = {\cos ^2}\varphi  - {\sin ^2}\varphi  + \left( {2\sin \varphi \cos \varphi } \right)i\)

\( = \cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi \)

Vậy các căn bậc hai của \(\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi \) là \( \pm \left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\)

Theo cách giải trong bài học, để tìm căn bậc hai của\(\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi \) ta giải hệ phương trình\(\left\{ \matrix{  {x^2} - {y^2} = \cos 2\varphi  \hfill \cr 2xy = \sin 2\varphi  \hfill \cr}  \right.\)

Rõ ràng hệ có các nghiệm \(\left( {\cos \varphi ,\sin \varphi } \right),\left( { - \cos \varphi , - \sin \varphi } \right)\) do đó\( \pm \left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\) là hai căn bậc hai của\(\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi \). Ta biết rằng chỉ có hai căn như thế nên đó là tất cả các căn bậc hai cần tìm.

LG b

Tìm các căn bậc hai của \({{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)\) bằng hai cách nói ở câu a).

Giải chi tiết:

\({{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right) = \cos {\pi  \over 4} - i\sin {\pi  \over 4} = \cos \left( { - {\pi  \over 4}} \right) + i\sin \left( { - {\pi  \over 4}} \right)\text{ thì theo câu a) }, {{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)\) có hai căn bậc hai là \( \pm \left( {\cos \left( {{{ - \pi } \over 8}} \right) + i\sin \left( {{{ - \pi } \over 8}} \right)} \right) =  \pm \left( {\cos {\pi  \over 8} - i\sin {\pi  \over 8}} \right)\)

Mà \(\eqalign{  & \cos {\pi  \over 8} = \sqrt {{{1 + \cos {\pi  \over 4}} \over 2}}  = \sqrt {{{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2}}  = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 }   \cr  & \sin {\pi  \over 8} = \sqrt {{{1 - \cos {\pi  \over 4}} \over 2}}  = \sqrt {{{1 - {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2}}  = {1 \over 2}\sqrt {2 - \sqrt 2 }  \cr} \)

Vậy hai căn bậc hai cần tìm là \( \pm {1 \over 2}\left( {\sqrt {2 + \sqrt 2 }  - i\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \right)\)

Còn theo bài học, việc tìm các căn bậc hai của\({{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)\) đưa về việc giải hệ phương trình\(\left\{ \matrix{  {x^2} - {y^2} = {{\sqrt 2 } \over 2} \hfill \cr  2xy =  - {{\sqrt 2 } \over 2} \hfill \cr}  \right.\)

Hệ đó tương đương với \(\left\{ \matrix{  8{x^4} - 4\sqrt 2 {x^2} - 1 = 0 \hfill \cr  y =  - {{\sqrt 2 } \over {4x}} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x^2} = {{\sqrt 2  + 2} \over 4} \hfill \cr  y =  - {{\sqrt 2 } \over {4x}} \hfill \cr}  \right.\)

nên có các nghiệm là: \(\left( {{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } } \over 2};{{ - \sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2}} \right),\left( {{{ - \sqrt {2 + \sqrt 2 } } \over 2};{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2}} \right)\)

Vậy ta lại được hai căn bậc hai đã viết ở trên.