Bài 18 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho hai mặt phẳng có phương trình là 
\(2x - my + 3z - 6 + m = 0\) và \(\left( {m + 3} \right)x - 2y + \left( {5m + 1} \right)z - 10 = 0\)
Với giá trị nào của m thì:

LG a

Hai mặt phẳng đó song song ;

Giải chi tiết:

Mặt phẳng \(2x - my + 3z - 6 + m = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - m;3} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {m + 3} \right)x - 2y + \left( {5m + 1} \right)z - 10 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {m + 3; - 2;5m + 1} \right)\).
Ta có

\(\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 5{m^2} - m + 6 = 0 \hfill \cr 
- 7m + 7 = 0 \hfill \cr 
{m^2} + 3m - 4 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m = 1\)

Với m = 1 thì hai mặt phẳng có phương trình \(2x - y + 3z - 5 = 0\) và \(4x - 2y + 6z - 10 = 0\) nên chúng trùng nhau. Vậy Không tồn tại m để hai mặt phẳng đó song song.

LG b

Hai mặt phẳng đó trùng nhau ;

Giải chi tiết:

Với m = 1 thì hai mặt phẳng đó trùng nhau.

LG c

Hai mặt phẳng đó cắt nhau ;

Giải chi tiết:

Với \(m \ne 1\) thì hai mặt phẳng đó cắt nhau.

LG d

Hai mặt phẳng đó vuông góc?

Giải chi tiết:

Hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi

\(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0 \Leftrightarrow 2\left( {m + 3} \right) + 2m + 3\left( {5m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 19m + 9 = 0 \Leftrightarrow m = {{ - 9} \over {19}}\)