Bài 1.47 trang 24 SBT giải tích 12

Tìm các tiệm cận đường và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:

LG a

\(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 2}}\)

Phương pháp giải:

- Tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x = {x_0}\) được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu nó thỏa mãn một trong 4 điều kiện sau: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty \end{array} \right.\)

- Tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết:

\(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 2}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \dfrac{{2x - 1}}{{x + 2}} =  - \infty ,\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \dfrac{{2x - 1}}{{x + 2}} =  + \infty \) nên đường thẳng \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{2x - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{2 - \dfrac{1}{x}}}{{1 + \dfrac{2}{x}}} = 2\)  nên đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

LG b

\(y = \dfrac{{3 - 2x}}{{3x + 1}}\);

Giải chi tiết:

Từ  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)}^ + }} \dfrac{{3 - 2x}}{{3x + 1}} =  + \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)}^ - }} \dfrac{{3 - 2x}}{{3x + 1}} =  - \infty \), ta có \(x =  - \dfrac{1}{3}\) là tiệm cận đứng

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{3 - 2x}}{{3x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{\dfrac{3}{x} - 2}}{{3 + \dfrac{1}{x}}} =  - \dfrac{2}{3}\)  nên đường thẳng \(y =  - \dfrac{2}{3}\) là tiệm cận ngang.

LG c

\(y = \dfrac{5}{{2 - 3x}}\);

Giải chi tiết:

Vì  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^ + }} \dfrac{5}{{2 - 3x}} =  - \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^ - }} \dfrac{5}{{2 - 3x}} =  + \infty \) nên \(x = \dfrac{2}{3}\) là tiệm cận đứng,

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{5}{{2 - 3x}} = 0\) nên \(y = 0\) là tiệm cận ngang.

LG d

\(y = \dfrac{{ - 4}}{{x + 1}}\)

Giải chi tiết:

Do  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \dfrac{{ - 4}}{{x + 1}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \dfrac{{ - 4}}{{x + 1}} =  + \infty \)  nên \(x\; =  - 1\) là tiệm cận đứng.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{ - 4}}{{x + 1}} = 0\) nên \(y = 0\) là tiệm cận ngang.