Bài 10 trang 58 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho phương trình \({x^2} - mx - 1 = 0\)

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

b) Gọi x₁, x₂ làcác nghiệm của phương trình. Tính giá trị biểu thức \(M = \dfrac{{{x_1}^2 + {x_1} - 1}}{{{x_1}}} - \dfrac{{{x_2}^2 + {x_2} - 1}}{{{x_2}}}\)

Lời giải chi tiết

a) Cho phương trình: \({x^2} - mx - 1 = 0\) Ta có: \(a.c =  - 1 < 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

b) Áp dụnghệ thức Viet cho phương trình ban đầu ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} =  - 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}M = \dfrac{{{x_1}^2 + {x_1} - 1}}{{{x_1}}} - \dfrac{{{x_2}^2 + {x_2} - 1}}{{{x_2}}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{{\left( {{x_1}^2 + {x_1} - 1} \right){x_2} - \left( {{x_2}^2 + {x_2} - 1} \right){x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\\ \;\;\;\;\;= \dfrac{{{x_1}^2{x_2} + {x_1}{x_2} - {x_2} - {x_1}{x_2}^2 - {x_1}{x_2} + {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{{{x_1}{x_2}\left( {{x_1} - {x_2}} \right) + \left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}\\\;\;\;\;\; = \dfrac{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}\\ \;\;\;\;\;= \dfrac{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( { - 1 + 1} \right)}}{{ - 1}} = 0\end{array}\)

Vậy \(M = 0.\)