Bài 1 trang 57 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình \({x^2} - 3x - 7 = 0\) . Không giải phương trình hãy tính giá trị các biểu thức sau:

a) \(S = {x_1} + {x_2}\)         

b) \(P = {x_1}{x_2}\)

c) \(A = {x_1}^2 + {x_2}^2\)       

d) \(B = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\)

e) \(C = \dfrac{1}{{{x_1} - 1}} + \dfrac{1}{{{x_2} - 1}}\)     

f) \(D = (3{x_1} + {x_2})(3{x_2} + {x_1})\)

g) \(E = {x_1}^3 + {x_2}^3\) 

h) \(F = {x_1}^4 + {x_2}^4\)

Lời giải chi tiết

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình bậc hai ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a} = 3\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} =  - 7\end{array} \right.\)

a) \(S = {x_1} + {x_2} = 3\)

b) \(P = {x_1}.{x_2} =  - 7\)

c) \(A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\)\(\, = {3^2} - 2.\left( { - 7} \right) = 9 + 14 = 23\)

d) \(B = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \)

\(\Rightarrow {B^2} = {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}x{  _2} \)\(\,= A - 2P = 23 - 2.\left( { - 7} \right) = 37\)

e) \(C = \dfrac{1}{{{x_1} - 1}} + \dfrac{1}{{{x_2} - 1}} \)

\(\;\;\;\;\;\;\;\,= \dfrac{{{x_2} - 1 + {x_1} - 1}}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}} \)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;= \dfrac{{{x_1} + {x_2} - 2}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}} \)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;= \dfrac{{3 - 2}}{{ - 7 - 3 + 1}} =  - \dfrac{1}{9}\)

f) \(D = \left( {3{x_1} + {x_2}} \right)\left( {3{x_2} + {x_1}} \right) \)\(\;= 10{x_1}{x_2} + 3\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) \)\(\,= 10.\left( { - 7} \right) + 3.23 =  - 1\)

g) \(E = x_1^3 + x_2^3 \)\(\;= \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) \)\(\;= 3.\left( {23 + 7} \right) = 90\)

h) \(F = x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2} \right)^2} + {\left( {x_2^2} \right)^2} \)\(\,= {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2\)\(\, = {23^2} - 2.{\left( { - 7} \right)^2} \)\(\,= 431\)