Bài 10 trang 176 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat A = {20^0},\)   vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh rằng :

a) Tia AD là phân giác góc BAC.

b) AM = BC.

Lời giải chi tiết

a)Xét tam giác ADB và ADC ta có:

AD là cạnh chung

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

DB = DC (tam giác DBC đều)

Do đó: \(\Delta ADB = \Delta ADC(c.c.c) \Rightarrow \widehat {DAB} = \widehat {DAC}\)

Vậy AD là tia phân giác của góc BAC.

b) Ta có: \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD} = {{\widehat {BAC}} \over 2} = {{{{20}^0}} \over 2} = {10^0}\)   (AD là tia phân giác của góc BAC)

Tam giác ABC có: \(\eqalign{  & \widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = {180^0}  \cr  &  \Leftrightarrow \widehat {ABC} + {20^0} + \widehat {ABC} = {180^0}  \cr  &  \Rightarrow 2\widehat {ABC} = {180^0} - {20^0} = {160^0}  \cr  &  \Rightarrow \widehat {ABC} = {80^0} \cr} \)

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ABD} + \widehat {DBC}\)

Nên \(\widehat {ABD} + \widehat {DBC} = {80^0} \Rightarrow \widehat {ABD} + {60^0} = {80^0} \Rightarrow \widehat {ABD} = {20^0}.\)

Ta có: \(\widehat {ABM} = \widehat {MBD} = {{\widehat {ABD}} \over 2}\)   (BM là tia phân giác của góc ABD)

\(\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {MBD} = {{{{20}^0}} \over 2} = {10^0}\)

Xét tam giác AMB và BDA có:

\(\widehat {ABM} = \widehat {BAD}( = {10^0})\)

AB là cạnh chung

\(\widehat {MAB} = \widehat {DBA}( = {20^0})\)

Do đó: \(\Delta AMB = \Delta BDA(g.c.g) \Rightarrow AM = BD.\)

Mà BD = BC (tam giác BCD đều) nên AM = BC.