Ôn tập chương 1 Khối đa diện

a) Quan hệ song song

Hệ thống hóa kiến thức “Đường thẳng và mặt phẳng song song”

b) Quan hệ vuông góc

Hệ thống hóa kiến thức "Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng"

Hệ thống hóa kiến thức "Hai mặt phẳng vuông góc"

c) Khoảng cách và góc

Hệ thống hóa kiến thức "Khoảng cách và góc"

5. Bài tập Luyện tập 

Bài tập 1: 

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(2a\sqrt{2}\) và \(AA'=a\sqrt{3}\). Hình chiếu vuông góc của điểm A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABB'A'.

Lời giải:

 

• Tính \({V_{ABC.A'B'C'}}\) .

Ta có \(A'G \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'G\) là chiều cao của lăng trụ ABC.A'B'C'.

Diện tích tam giác đều ABC là: \({S_{ABC}} = A{B^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 2{a^2}\sqrt 3\).

Gọi M là trung điểm của BC, ta có: \(AM = BC.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 6\).

\(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3}\).

Trong \(\Delta A'GA\) vuông tại G, ta có:

\(A'G = \sqrt {A'{A^2} - A{G^2}} \)

\(= \sqrt {3{a^2} - \frac{8}{3}{a^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là:

\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'G = 2{a^3}\)

• Tính \(d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right)\)

Gọi N là trung điểm của AB.

Trong \(\Delta A'GN\), kẻ \(GH \bot A'N\).

Chứng minh được \(GH \bot \left( {ABB'A'} \right)\) tại H.

Suy ra \(d\left( {G,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = GH\).

Ta có: 

\(CN = AM = a\sqrt 6\), 

\(GN = \frac{1}{3}CN = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) .

\(\frac{1}{{G{H^2}}} = \frac{1}{{A'{G^2}}} + \frac{1}{{G{N^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}} + \frac{9}{{6{a^2}}}= \frac{9}{{2{a^2}}}\)

\(\Rightarrow GH = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).

Do đó \(d\left( {G,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = GH = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy:

\(d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) \)

\( = 3d\left( {G,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = a\sqrt 2 \).

Bài tập 2: 

Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, \(AB = a ,
\widehat{ ACB} = 60^0, SA\perp (ABC)\). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC), biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(\frac{a}{2}\).

Lời giải:

• Tính thể tích khối chóp S.ABC:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{SA \bot (ABC) \Rightarrow BC \bot SA}\\
{BC \bot AB}
\end{array}} \right.\\
 \Rightarrow BC \bot (SAB)
\end{array}\\
{ \Rightarrow (SBC) \bot (SAB).}
\end{array}\)

Kẻ AH vuông góc SB \((H \in SB)\) suy ra: 

\(AH \bot (SBC) \Rightarrow AH = \frac{a}{2}.\)

\(BC = \frac{{AB}}{{\tan {{60}^0}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

Diện tích tam giác ABC là: \(S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{6}\).

Vậy thể tích khối chóp là: \(V_{S.ABC}=\frac{a^3}{18}.\)

• Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)

Kẻ \(BI \bot AC;\,\,IK \bot SC.\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BI \bot AC}\\
{BI \bot SA}
\end{array}} \right. \Rightarrow BI \bot (SAC)\\
 \Rightarrow SC \bot BI\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array}\)

Mặt khác: \(IK \bot SC\)  (2)

\(SC \bot (BIK) \Rightarrow BK \bot SC.\)
Suy ra góc giữa 2 mặt phẳng là \(\widehat{IKB}\).
Xét các tam giác vuông ABC và SBC ta tính được độ dài các đường cao:\(BI=\frac{a}{2};BK=\frac{2a\sqrt{15}}{15}\).
Xét tam giác BIK vuông tại I ta có: \(IK=\frac{a\sqrt{15}}{30};cos\widehat{IKB}=\frac{1}{4}\).

Bài tập 3: 

Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 48 và ABCD là hình thoi. Các điểm M, N, P, Q lần lượt là các điểm trên các đoạn SA, SB, SC, SD thỏa mãn: \(SA = 2SM,SB = 3SN;\) 

\(SC = 4SP;SD = 5SQ.\) Tính thể tích V của khối chóp S.MNPQ.

Lời giải:

Ta có: \({V_{SMNPQ}} = {V_{SMQP}} + {V_{SMNP}}\)

Và: \({V_{SADC}} = {V_{SQBC}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\frac{{{V_{S.MQP}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \frac{{SQ}}{{SD}}.\frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SP}}{{SC}}\\
 = \frac{1}{5}.\frac{1}{2}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{40}}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Rightarrow {V_{S.MQP}} = \frac{1}{{40}}.{V_{S.ADC}}\\
 = \frac{1}{{80}}.{V_{S.ABCD}}
\end{array}
\end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SP}}{{SC}}.\frac{{SN}}{{SP}}\\
 = \frac{1}{2}.\frac{1}{4}.\frac{1}{3} = \frac{1}{{24}}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Rightarrow {V_{S.MNP}} = \frac{1}{{24}}{V_{S.ABC}}\\
 = \frac{1}{{48}}.{V_{S.ABCD}}
\end{array}
\end{array}\)

\(\Rightarrow {V_{SMNPQ}} = \left( {\frac{1}{{80}} + \frac{1}{{48}}} \right){V_{S.ABCD}} = \frac{8}{5}\)

a) Quan hệ song song

Hệ thống hóa kiến thức “Đường thẳng và mặt phẳng song song”

b) Quan hệ vuông góc

Hệ thống hóa kiến thức "Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng"

Hệ thống hóa kiến thức "Hai mặt phẳng vuông góc"

c) Khoảng cách và góc

Hệ thống hóa kiến thức "Khoảng cách và góc"

5. Bài tập Luyện tập 

Bài tập 1: 

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(2a\sqrt{2}\) và \(AA'=a\sqrt{3}\). Hình chiếu vuông góc của điểm A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABB'A'.

Lời giải:

 

• Tính \({V_{ABC.A'B'C'}}\) .

Ta có \(A'G \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'G\) là chiều cao của lăng trụ ABC.A'B'C'.

Diện tích tam giác đều ABC là: \({S_{ABC}} = A{B^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 2{a^2}\sqrt 3\).

Gọi M là trung điểm của BC, ta có: \(AM = BC.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 6\).

\(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3}\).

Trong \(\Delta A'GA\) vuông tại G, ta có:

\(A'G = \sqrt {A'{A^2} - A{G^2}} \)

\(= \sqrt {3{a^2} - \frac{8}{3}{a^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là:

\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'G = 2{a^3}\)

• Tính \(d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right)\)

Gọi N là trung điểm của AB.

Trong \(\Delta A'GN\), kẻ \(GH \bot A'N\).

Chứng minh được \(GH \bot \left( {ABB'A'} \right)\) tại H.

Suy ra \(d\left( {G,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = GH\).

Ta có: 

\(CN = AM = a\sqrt 6\), 

\(GN = \frac{1}{3}CN = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) .

\(\frac{1}{{G{H^2}}} = \frac{1}{{A'{G^2}}} + \frac{1}{{G{N^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}} + \frac{9}{{6{a^2}}}= \frac{9}{{2{a^2}}}\)

\(\Rightarrow GH = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).

Do đó \(d\left( {G,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = GH = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy:

\(d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) \)

\( = 3d\left( {G,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = a\sqrt 2 \).

Bài tập 2: 

Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, \(AB = a ,
\widehat{ ACB} = 60^0, SA\perp (ABC)\). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC), biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(\frac{a}{2}\).

Lời giải:

• Tính thể tích khối chóp S.ABC:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{SA \bot (ABC) \Rightarrow BC \bot SA}\\
{BC \bot AB}
\end{array}} \right.\\
 \Rightarrow BC \bot (SAB)
\end{array}\\
{ \Rightarrow (SBC) \bot (SAB).}
\end{array}\)

Kẻ AH vuông góc SB \((H \in SB)\) suy ra: 

\(AH \bot (SBC) \Rightarrow AH = \frac{a}{2}.\)

\(BC = \frac{{AB}}{{\tan {{60}^0}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

Diện tích tam giác ABC là: \(S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{6}\).

Vậy thể tích khối chóp là: \(V_{S.ABC}=\frac{a^3}{18}.\)

• Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)

Kẻ \(BI \bot AC;\,\,IK \bot SC.\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BI \bot AC}\\
{BI \bot SA}
\end{array}} \right. \Rightarrow BI \bot (SAC)\\
 \Rightarrow SC \bot BI\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array}\)

Mặt khác: \(IK \bot SC\)  (2)

\(SC \bot (BIK) \Rightarrow BK \bot SC.\)
Suy ra góc giữa 2 mặt phẳng là \(\widehat{IKB}\).
Xét các tam giác vuông ABC và SBC ta tính được độ dài các đường cao:\(BI=\frac{a}{2};BK=\frac{2a\sqrt{15}}{15}\).
Xét tam giác BIK vuông tại I ta có: \(IK=\frac{a\sqrt{15}}{30};cos\widehat{IKB}=\frac{1}{4}\).

Bài tập 3: 

Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 48 và ABCD là hình thoi. Các điểm M, N, P, Q lần lượt là các điểm trên các đoạn SA, SB, SC, SD thỏa mãn: \(SA = 2SM,SB = 3SN;\) 

\(SC = 4SP;SD = 5SQ.\) Tính thể tích V của khối chóp S.MNPQ.

Lời giải:

Ta có: \({V_{SMNPQ}} = {V_{SMQP}} + {V_{SMNP}}\)

Và: \({V_{SADC}} = {V_{SQBC}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\frac{{{V_{S.MQP}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \frac{{SQ}}{{SD}}.\frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SP}}{{SC}}\\
 = \frac{1}{5}.\frac{1}{2}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{40}}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Rightarrow {V_{S.MQP}} = \frac{1}{{40}}.{V_{S.ADC}}\\
 = \frac{1}{{80}}.{V_{S.ABCD}}
\end{array}
\end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SP}}{{SC}}.\frac{{SN}}{{SP}}\\
 = \frac{1}{2}.\frac{1}{4}.\frac{1}{3} = \frac{1}{{24}}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Rightarrow {V_{S.MNP}} = \frac{1}{{24}}{V_{S.ABC}}\\
 = \frac{1}{{48}}.{V_{S.ABCD}}
\end{array}
\end{array}\)

\(\Rightarrow {V_{SMNPQ}} = \left( {\frac{1}{{80}} + \frac{1}{{48}}} \right){V_{S.ABCD}} = \frac{8}{5}\)