Giả sử có 1 khối hộp chữ nhật với 3 kích thước a, b, c đều là những số dương. Khi đó thể tích của nó là: \(V=a.b.c\).
\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABC}.SH\)
Trên các đường thẳng SA, SB, SC của hình chóp S.ABC ta lấy lần lượt các điểm A', B', C'.
Ta có: \({V_{S.A'B'C'}} = \frac{{SA'.SB'.SC'}}{{SA.SB.SC}}.{V_{S.ABC}}\).
Thể tích của khối lăng trụ bằng tích số của diện tích mặt đáy với chiều cao của khối lăng trụ đó: \(V=S_{day}.h.\)
\(V_{ABC.A'B'C'}=S_{ABC}.C'H\)
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, \(AB=a \sqrt 2, AC=a \sqrt 3\), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SB=a \sqrt 3.\) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a.\)
Suy ra:
\({{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 .a \)
\(= \frac{{{a^2}.\sqrt 2 }}{2}\)
Tam giác SAB vuông tại A có \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = a.\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA \)
\(= \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}.\sqrt 2 }}{2}.a = \frac{{{a^3}.\sqrt 2 }}{6}.\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a\sqrt2\), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SC=a \sqrt5\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Diện tích ABCD: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 2{a^2}.\)
Ta có: \(AC = AB.\sqrt 2 = a\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2a.\)
Tam giác SAC vuông tại A nên: \(SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}} = a\).
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA \)
\(= \frac{1}{3}.2{a^2}.a = \frac{{2{a^3}}}{3}.\)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng \(a\sqrt3\), cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Gọi M là trung điểm của BC.
O là trọng tâm tam giác ABC suy ra \(SO \bot (ABC).\)
Tam giác ABC đều cạnh \(a\sqrt3\) suy ra:
\(AM=a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{2}.\)
\({\rm{AO = }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}.AM = \frac{2}{3}.\frac{{3a}}{2} = a\).
\({{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin {60^0} \)
\(= \frac{1}{2}.a\sqrt 3 .a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^2}.\sqrt 3 }}{4}\).
Tam giác SAO vuông tại A nên ta có \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = a.\sqrt 3.\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA \)
\(= \frac{1}{3}.\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}.\sqrt 3 }}{4}.\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600.Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
\(SA \bot (ABCD)\) nên AC là hình chiếu của SC lên mặt mặt phẳng (ABCD).
Do đó: \(\widehat {(SC,(ABCD))} = \widehat {(SC,AC)} \)
\(= \widehat {SCA} = {60^o}.\)
Diện tích đáy là: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}} = {a^2}.\)
Tam giác SAC vuông tại A có:
\(AC=a \sqrt2, \widehat {SCA} = {60^0} \)
\(\Rightarrow SA = AC.\tan {60^o} = a\sqrt 6.\)
Vậy thể tích khối chóp là:
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA \)
\(= \frac{1}{3}.{a^2}.a\sqrt 6 = \frac{{{a^3}.\sqrt 6 }}{3}.\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh \(BC=a\sqrt2,\) cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Gọi M là trung điểm của BC ta có: \(AM \bot BC\).
Mặt khác: \(SA \bot BC\) do \(SA \bot \left( {ABC} \right).\)
Nên: \(BC \bot (SAM) \Rightarrow SM \bot BC.\)
Suy ra:
\(\widehat {((SBC),(ABC))} = \widehat {(SM,AM)} \)
\(= \widehat {SMA} = {45^o}\).
Tam giác ABC vuông cận tại A có \(BC=a\sqrt2\) suy ra:
\(AB = BC = a\) và \(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \(\Rightarrow {{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}AB.AC \)
\(= \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\)
Tam giác SAM vuông tại A có:
\(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và \(\widehat {SMA} = {45^o}\)
Suy ra: \(SA = AB.\tan {45^o} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA \)
\(= \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}.\sqrt 2 }}{{12}}\).
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, \(AC=a\sqrt3\), cạnh A'B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC=\sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2.\)
Suy ra: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)
Tam giác A'AB vuông tại A nên: \(A'A = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 3 .\)
Vậy thể tích khối lăng trụ là:
\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'A = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.\)
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(2a\sqrt3\), hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A'A hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
Gọi M là trung điểm của BC.
G là trọng tâm tam giác ABC suy ra: \(A'G \bot (ABC)\).
Do đó AG là hình chiếu vuông góc của AA' lên mặt phẳng (ABC).
Suy ra: \(\left( {\widehat {{A^/}A,(ABC)}} \right) = \widehat {{A^/}AG} = {30^0}.\)
Tam giác ABC đều cạnh \(2a\sqrt3\) nên:
\({S_{ABC}} = {\left( {2a\sqrt 3 } \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 3{a^2}\sqrt 3.\)
Tam giác A'AG vuông tại G có :
\(\widehat A = {30^0},\)
\(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.2a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2a.\)
Suy ra: \(A'G = AG.\tan {30^0} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\)
Vậy: \({V_{ABC.{A'}{B'}{C'}}} = {S_{ABC}}.{A'}A = 6{a^3}.\)
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=a\sqrt3.\)Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM.
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S.
Do đó theo công thức tỷ số thể tích, ta có:
\(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{{\rm{SA}}}}{{{\rm{SA}}}}.\frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = 1.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)
Suy ra: \({V_{S.AMN}} = \frac{{{V_{S.ABC}}}}{4} = \frac{{\frac{1}{3}.{a^2}\sqrt 3 .a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{4}\)
Và: \({V_{A.BCNM}} = \frac{3}{4}.{V_{S.ABC}} = {\frac{{3a}}{4}^3}.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, M và N theo thứ tự là trung điểm của SA và SB. Tính tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{S.CDMN}}}}{{{V_{S.CDAB}}}}\).
Ta có:
\({V_{S.MNCD}} = {V_{S.MCD}} + {V_{S.MNC}}\) và
\({V_{S.ABCD}} = {V_{S.ACD}} + {V_{S.ABC}}\).
Khi đó:
\(\frac{{{V_{S.MCD}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{2} \)
\(\Leftrightarrow {V_{S.MCD}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}}\)
Mặt khác:
\(\frac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{4} \)
\(\Rightarrow {V_{S.MNC}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\)
Từ trên suy ra:
\({V_{S.MNCD}} = \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{8}} \right){V_{S.ABCD}} \)
\(= \frac{3}{8}{V_{S.ABCD}}\).
Giả sử có 1 khối hộp chữ nhật với 3 kích thước a, b, c đều là những số dương. Khi đó thể tích của nó là: \(V=a.b.c\).
\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABC}.SH\)
Trên các đường thẳng SA, SB, SC của hình chóp S.ABC ta lấy lần lượt các điểm A', B', C'.
Ta có: \({V_{S.A'B'C'}} = \frac{{SA'.SB'.SC'}}{{SA.SB.SC}}.{V_{S.ABC}}\).
Thể tích của khối lăng trụ bằng tích số của diện tích mặt đáy với chiều cao của khối lăng trụ đó: \(V=S_{day}.h.\)
\(V_{ABC.A'B'C'}=S_{ABC}.C'H\)
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, \(AB=a \sqrt 2, AC=a \sqrt 3\), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SB=a \sqrt 3.\) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a.\)
Suy ra:
\({{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 .a \)
\(= \frac{{{a^2}.\sqrt 2 }}{2}\)
Tam giác SAB vuông tại A có \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = a.\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA \)
\(= \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}.\sqrt 2 }}{2}.a = \frac{{{a^3}.\sqrt 2 }}{6}.\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a\sqrt2\), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SC=a \sqrt5\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Diện tích ABCD: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 2{a^2}.\)
Ta có: \(AC = AB.\sqrt 2 = a\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2a.\)
Tam giác SAC vuông tại A nên: \(SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}} = a\).
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA \)
\(= \frac{1}{3}.2{a^2}.a = \frac{{2{a^3}}}{3}.\)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng \(a\sqrt3\), cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Gọi M là trung điểm của BC.
O là trọng tâm tam giác ABC suy ra \(SO \bot (ABC).\)
Tam giác ABC đều cạnh \(a\sqrt3\) suy ra:
\(AM=a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{2}.\)
\({\rm{AO = }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}.AM = \frac{2}{3}.\frac{{3a}}{2} = a\).
\({{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin {60^0} \)
\(= \frac{1}{2}.a\sqrt 3 .a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^2}.\sqrt 3 }}{4}\).
Tam giác SAO vuông tại A nên ta có \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = a.\sqrt 3.\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA \)
\(= \frac{1}{3}.\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}.\sqrt 3 }}{4}.\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600.Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
\(SA \bot (ABCD)\) nên AC là hình chiếu của SC lên mặt mặt phẳng (ABCD).
Do đó: \(\widehat {(SC,(ABCD))} = \widehat {(SC,AC)} \)
\(= \widehat {SCA} = {60^o}.\)
Diện tích đáy là: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}} = {a^2}.\)
Tam giác SAC vuông tại A có:
\(AC=a \sqrt2, \widehat {SCA} = {60^0} \)
\(\Rightarrow SA = AC.\tan {60^o} = a\sqrt 6.\)
Vậy thể tích khối chóp là:
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA \)
\(= \frac{1}{3}.{a^2}.a\sqrt 6 = \frac{{{a^3}.\sqrt 6 }}{3}.\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh \(BC=a\sqrt2,\) cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Gọi M là trung điểm của BC ta có: \(AM \bot BC\).
Mặt khác: \(SA \bot BC\) do \(SA \bot \left( {ABC} \right).\)
Nên: \(BC \bot (SAM) \Rightarrow SM \bot BC.\)
Suy ra:
\(\widehat {((SBC),(ABC))} = \widehat {(SM,AM)} \)
\(= \widehat {SMA} = {45^o}\).
Tam giác ABC vuông cận tại A có \(BC=a\sqrt2\) suy ra:
\(AB = BC = a\) và \(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \(\Rightarrow {{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}AB.AC \)
\(= \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\)
Tam giác SAM vuông tại A có:
\(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và \(\widehat {SMA} = {45^o}\)
Suy ra: \(SA = AB.\tan {45^o} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA \)
\(= \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}.\sqrt 2 }}{{12}}\).
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, \(AC=a\sqrt3\), cạnh A'B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC=\sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2.\)
Suy ra: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)
Tam giác A'AB vuông tại A nên: \(A'A = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 3 .\)
Vậy thể tích khối lăng trụ là:
\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'A = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.\)
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(2a\sqrt3\), hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A'A hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
Gọi M là trung điểm của BC.
G là trọng tâm tam giác ABC suy ra: \(A'G \bot (ABC)\).
Do đó AG là hình chiếu vuông góc của AA' lên mặt phẳng (ABC).
Suy ra: \(\left( {\widehat {{A^/}A,(ABC)}} \right) = \widehat {{A^/}AG} = {30^0}.\)
Tam giác ABC đều cạnh \(2a\sqrt3\) nên:
\({S_{ABC}} = {\left( {2a\sqrt 3 } \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 3{a^2}\sqrt 3.\)
Tam giác A'AG vuông tại G có :
\(\widehat A = {30^0},\)
\(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.2a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2a.\)
Suy ra: \(A'G = AG.\tan {30^0} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\)
Vậy: \({V_{ABC.{A'}{B'}{C'}}} = {S_{ABC}}.{A'}A = 6{a^3}.\)
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=a\sqrt3.\)Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM.
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S.
Do đó theo công thức tỷ số thể tích, ta có:
\(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{{\rm{SA}}}}{{{\rm{SA}}}}.\frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = 1.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)
Suy ra: \({V_{S.AMN}} = \frac{{{V_{S.ABC}}}}{4} = \frac{{\frac{1}{3}.{a^2}\sqrt 3 .a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{4}\)
Và: \({V_{A.BCNM}} = \frac{3}{4}.{V_{S.ABC}} = {\frac{{3a}}{4}^3}.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, M và N theo thứ tự là trung điểm của SA và SB. Tính tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{S.CDMN}}}}{{{V_{S.CDAB}}}}\).
Ta có:
\({V_{S.MNCD}} = {V_{S.MCD}} + {V_{S.MNC}}\) và
\({V_{S.ABCD}} = {V_{S.ACD}} + {V_{S.ABC}}\).
Khi đó:
\(\frac{{{V_{S.MCD}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{2} \)
\(\Leftrightarrow {V_{S.MCD}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}}\)
Mặt khác:
\(\frac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{4} \)
\(\Rightarrow {V_{S.MNC}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\)
Từ trên suy ra:
\({V_{S.MNCD}} = \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{8}} \right){V_{S.ABCD}} \)
\(= \frac{3}{8}{V_{S.ABCD}}\).