Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và một đường thẳng \(\Delta \) cắt \(\left( \alpha \right)\). Với mỗi điểm \(M\) trong không gian, đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(\Delta \) cắt \(\left( \alpha \right)\) tại điểm \(M'\) xác định.
Điểm \(M'\) được gọi là hình chiếu song song của điểm \(M\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) theo phương \(\Delta \).
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) được gọi là mặt phẳng chiếu, phương của \(\Delta \) gọi là phương chiếu.
Phép đặt tương ứng mỗi điểm \(M\) với hình chiếu \(M'\) của nó trên \(\left( \alpha \right)\) được gọi là phép chiếu song song lên \(\left( \alpha \right)\) theo phương \(\Delta \).
Ta kí hiệu \(C{h_\Delta }\left( \alpha \right)\left( M \right) = M'\).
Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác tùy ý cho trước (tam giác cân, đều, vuông …) .
Phương pháp:
Để vẽ hình biểu diễn của hình \(\left( H \right)\)ta cần xác định các yếu tố bất biến có trong hình \(\left( H \right)\).
Hình thang có thể là hình biểu diễn của một hình bình hành không.
Hình thang không thể coi là hình biểu diễn của hình bình hành vì hai cạnh bên của hình thang không song song còn cặp cạnh đối của hình bình hành thì song song ( tính song song không được bảo toàn).
Vẽ hình biểu diễn của tứ diện \(ABCD\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\)theo phương chiếu \(AB\) (\(AB\) không song song với \(\left( P \right)\)).
Vì phương chiếu \(l\) là đường thẳng \(AB\) nên hình chiếu của \(A\) và \(B\) chính là giao điểm của \(AB\) và \(\left( P \right)\).
Do đó \(AB \cap \left( P \right) = A' \equiv B'\)
Các đường thẳng lần lượt đi qua \(C,D\) song song với \(AB\) cắt \(\left( P \right)\) tại \(C',D'\)
thì \(C',D'\) chính là hình chiếu của \(C,D\) lên \(\left( P \right)\) theo phương \(AB\).
Vậy hình chiếu của tứ diện \(ABCD\) là tam giác \(A'C'D'\).
Phương pháp:
Để tính tỉ số của điểm \(M\) chia đoạn \(AB\) (tính \(\frac{{MA}}{{MB}}\)) ta xét phép
Chiếu song song lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) theo phương \(l\) không song song với \(AB\) sao cho ảnh của \(M,A,B\) là ba điểm \(M',A',B'\) mà ta có thể tính được \(\frac{{M'A'}}{{M'B'}}\), khi đó \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{M'A'}}{{M'B'}}\).
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Xác định các điểm \(M,N\) tương ứng trên các đoạn \(AC',B'D'\) sao cho \(MN\) song song với \(BA'\) và tính tỉ số \(\frac{{MA}}{{MC'}}\).
Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) theo phương chiếu \(BA'\). Ta có \(N\) là ảnh của \(M\) hay \(M\) chính là giao điểm của \(B'D'\) và ảnh \(AC'\) qua phép chiếu này. Do đó ta xác định \(M,N\) như sau:
Trên \(A'B'\) kéo dài lấy điểm \(K\) sao cho \(A'K = B'A'\) thì \(ABA'K\) là hình bình hành nên \(AK//BA'\) suy ra \(K\) là ảnh của \(A\) trên \(AC'\) qua phép chiếu song song.
Gọi \(N = B'D' \cap KC'\). Đường thẳng qua \(N\) và song song với \(AK\) cắt \(AC'\) tại \(M\). Ta có \(M,N\) là các điểm cần xác định.
Theo định lí Thales, ta có \(\frac{{MA}}{{MC'}} = \frac{{NK}}{{NC'}} = \frac{{KB'}}{{C'D'}} = 2\).
Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và một đường thẳng \(\Delta \) cắt \(\left( \alpha \right)\). Với mỗi điểm \(M\) trong không gian, đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(\Delta \) cắt \(\left( \alpha \right)\) tại điểm \(M'\) xác định.
Điểm \(M'\) được gọi là hình chiếu song song của điểm \(M\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) theo phương \(\Delta \).
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) được gọi là mặt phẳng chiếu, phương của \(\Delta \) gọi là phương chiếu.
Phép đặt tương ứng mỗi điểm \(M\) với hình chiếu \(M'\) của nó trên \(\left( \alpha \right)\) được gọi là phép chiếu song song lên \(\left( \alpha \right)\) theo phương \(\Delta \).
Ta kí hiệu \(C{h_\Delta }\left( \alpha \right)\left( M \right) = M'\).
Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác tùy ý cho trước (tam giác cân, đều, vuông …) .
Phương pháp:
Để vẽ hình biểu diễn của hình \(\left( H \right)\)ta cần xác định các yếu tố bất biến có trong hình \(\left( H \right)\).
Hình thang có thể là hình biểu diễn của một hình bình hành không.
Hình thang không thể coi là hình biểu diễn của hình bình hành vì hai cạnh bên của hình thang không song song còn cặp cạnh đối của hình bình hành thì song song ( tính song song không được bảo toàn).
Vẽ hình biểu diễn của tứ diện \(ABCD\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\)theo phương chiếu \(AB\) (\(AB\) không song song với \(\left( P \right)\)).
Vì phương chiếu \(l\) là đường thẳng \(AB\) nên hình chiếu của \(A\) và \(B\) chính là giao điểm của \(AB\) và \(\left( P \right)\).
Do đó \(AB \cap \left( P \right) = A' \equiv B'\)
Các đường thẳng lần lượt đi qua \(C,D\) song song với \(AB\) cắt \(\left( P \right)\) tại \(C',D'\)
thì \(C',D'\) chính là hình chiếu của \(C,D\) lên \(\left( P \right)\) theo phương \(AB\).
Vậy hình chiếu của tứ diện \(ABCD\) là tam giác \(A'C'D'\).
Phương pháp:
Để tính tỉ số của điểm \(M\) chia đoạn \(AB\) (tính \(\frac{{MA}}{{MB}}\)) ta xét phép
Chiếu song song lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) theo phương \(l\) không song song với \(AB\) sao cho ảnh của \(M,A,B\) là ba điểm \(M',A',B'\) mà ta có thể tính được \(\frac{{M'A'}}{{M'B'}}\), khi đó \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{M'A'}}{{M'B'}}\).
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Xác định các điểm \(M,N\) tương ứng trên các đoạn \(AC',B'D'\) sao cho \(MN\) song song với \(BA'\) và tính tỉ số \(\frac{{MA}}{{MC'}}\).
Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) theo phương chiếu \(BA'\). Ta có \(N\) là ảnh của \(M\) hay \(M\) chính là giao điểm của \(B'D'\) và ảnh \(AC'\) qua phép chiếu này. Do đó ta xác định \(M,N\) như sau:
Trên \(A'B'\) kéo dài lấy điểm \(K\) sao cho \(A'K = B'A'\) thì \(ABA'K\) là hình bình hành nên \(AK//BA'\) suy ra \(K\) là ảnh của \(A\) trên \(AC'\) qua phép chiếu song song.
Gọi \(N = B'D' \cap KC'\). Đường thẳng qua \(N\) và song song với \(AK\) cắt \(AC'\) tại \(M\). Ta có \(M,N\) là các điểm cần xác định.
Theo định lí Thales, ta có \(\frac{{MA}}{{MC'}} = \frac{{NK}}{{NC'}} = \frac{{KB'}}{{C'D'}} = 2\).