Bài 5: Phép chiếu song song và hình biểu diễn của một hình không gian
1. Phép chiếu song song
Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và một đường thẳng \(\Delta \) cắt \(\left( \alpha \right)\). Với mỗi điểm \(M\) trong không gian, đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(\Delta \) cắt \(\left( \alpha \right)\) tại điểm \(M'\) xác định.
Điểm \(M'\) được gọi là hình chiếu song song của điểm \(M\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) theo phương \(\Delta \).
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) được gọi là mặt phẳng chiếu, phương của \(\Delta \) gọi là phương chiếu.
Phép đặt tương ứng mỗi điểm \(M\) với hình chiếu \(M'\) của nó trên \(\left( \alpha \right)\) được gọi là phép chiếu song song lên \(\left( \alpha \right)\) theo phương \(\Delta \).
Ta kí hiệu \(C{h_\Delta }\left( \alpha \right)\left( M \right) = M'\).
2. Tính chất của phép chiếu song song
- Phép chiếu song song biến ba điểm thảng hàng tành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó.
- Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
- Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành đường thẳng song song hặc trùng nhau.
- Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
3. Hình biểu diễn của một số hình không gian trên mặt phẳng
Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác tùy ý cho trước (tam giác cân, đều, vuông …) .
- Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tùy ý cho trước (Hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành…)
- Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài của hai cạnh đáy được bảo toàn.
- Hình elip là hình biểu diễn của hình tròn.
4. Bài tập Vẽ hình biểu diễn của một hình \(\left( h \right)\)cho trước
Phương pháp:
Để vẽ hình biểu diễn của hình \(\left( H \right)\)ta cần xác định các yếu tố bất biến có trong hình \(\left( H \right)\).
- Xác định các yếu tố song song.
- Xác định tỉ số điểm \(M\) chia đoạn \(AB\).
- Trong hình \(\left( {H'} \right)\) phải đảm bảo tính song song và tỉ số của điểm \(M\) chia đoạn \(AB\).
Ví dụ 1:
Hình thang có thể là hình biểu diễn của một hình bình hành không.
Hướng dẫn:
Hình thang không thể coi là hình biểu diễn của hình bình hành vì hai cạnh bên của hình thang không song song còn cặp cạnh đối của hình bình hành thì song song ( tính song song không được bảo toàn).
Ví dụ 2:
Vẽ hình biểu diễn của tứ diện \(ABCD\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\)theo phương chiếu \(AB\) (\(AB\) không song song với \(\left( P \right)\)).
Hướng dẫn:
.png)
Vì phương chiếu \(l\) là đường thẳng \(AB\) nên hình chiếu của \(A\) và \(B\) chính là giao điểm của \(AB\) và \(\left( P \right)\).
Do đó \(AB \cap \left( P \right) = A' \equiv B'\)
Các đường thẳng lần lượt đi qua \(C,D\) song song với \(AB\) cắt \(\left( P \right)\) tại \(C',D'\)
thì \(C',D'\) chính là hình chiếu của \(C,D\) lên \(\left( P \right)\) theo phương \(AB\).
Vậy hình chiếu của tứ diện \(ABCD\) là tam giác \(A'C'D'\).
5. Các bài toán về tính tỉ số của hai đoạn thẳng và chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp:
Để tính tỉ số của điểm \(M\) chia đoạn \(AB\) (tính \(\frac{{MA}}{{MB}}\)) ta xét phép
Chiếu song song lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) theo phương \(l\) không song song với \(AB\) sao cho ảnh của \(M,A,B\) là ba điểm \(M',A',B'\) mà ta có thể tính được \(\frac{{M'A'}}{{M'B'}}\), khi đó \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{M'A'}}{{M'B'}}\).
Ví dụ:
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Xác định các điểm \(M,N\) tương ứng trên các đoạn \(AC',B'D'\) sao cho \(MN\) song song với \(BA'\) và tính tỉ số \(\frac{{MA}}{{MC'}}\).
Hướng dẫn:
.png)
Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) theo phương chiếu \(BA'\). Ta có \(N\) là ảnh của \(M\) hay \(M\) chính là giao điểm của \(B'D'\) và ảnh \(AC'\) qua phép chiếu này. Do đó ta xác định \(M,N\) như sau:
Trên \(A'B'\) kéo dài lấy điểm \(K\) sao cho \(A'K = B'A'\) thì \(ABA'K\) là hình bình hành nên \(AK//BA'\) suy ra \(K\) là ảnh của \(A\) trên \(AC'\) qua phép chiếu song song.
Gọi \(N = B'D' \cap KC'\). Đường thẳng qua \(N\) và song song với \(AK\) cắt \(AC'\) tại \(M\). Ta có \(M,N\) là các điểm cần xác định.
Theo định lí Thales, ta có \(\frac{{MA}}{{MC'}} = \frac{{NK}}{{NC'}} = \frac{{KB'}}{{C'D'}} = 2\).
1. Phép chiếu song song
Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và một đường thẳng \(\Delta \) cắt \(\left( \alpha \right)\). Với mỗi điểm \(M\) trong không gian, đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(\Delta \) cắt \(\left( \alpha \right)\) tại điểm \(M'\) xác định.
Điểm \(M'\) được gọi là hình chiếu song song của điểm \(M\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) theo phương \(\Delta \).
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) được gọi là mặt phẳng chiếu, phương của \(\Delta \) gọi là phương chiếu.
Phép đặt tương ứng mỗi điểm \(M\) với hình chiếu \(M'\) của nó trên \(\left( \alpha \right)\) được gọi là phép chiếu song song lên \(\left( \alpha \right)\) theo phương \(\Delta \).
Ta kí hiệu \(C{h_\Delta }\left( \alpha \right)\left( M \right) = M'\).
2. Tính chất của phép chiếu song song
- Phép chiếu song song biến ba điểm thảng hàng tành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó.
- Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
- Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành đường thẳng song song hặc trùng nhau.
- Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
3. Hình biểu diễn của một số hình không gian trên mặt phẳng
Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác tùy ý cho trước (tam giác cân, đều, vuông …) .
- Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tùy ý cho trước (Hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành…)
- Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài của hai cạnh đáy được bảo toàn.
- Hình elip là hình biểu diễn của hình tròn.
4. Bài tập Vẽ hình biểu diễn của một hình \(\left( h \right)\)cho trước
Phương pháp:
Để vẽ hình biểu diễn của hình \(\left( H \right)\)ta cần xác định các yếu tố bất biến có trong hình \(\left( H \right)\).
- Xác định các yếu tố song song.
- Xác định tỉ số điểm \(M\) chia đoạn \(AB\).
- Trong hình \(\left( {H'} \right)\) phải đảm bảo tính song song và tỉ số của điểm \(M\) chia đoạn \(AB\).
Ví dụ 1:
Hình thang có thể là hình biểu diễn của một hình bình hành không.
Hướng dẫn:
Hình thang không thể coi là hình biểu diễn của hình bình hành vì hai cạnh bên của hình thang không song song còn cặp cạnh đối của hình bình hành thì song song ( tính song song không được bảo toàn).
Ví dụ 2:
Vẽ hình biểu diễn của tứ diện \(ABCD\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\)theo phương chiếu \(AB\) (\(AB\) không song song với \(\left( P \right)\)).
Hướng dẫn:
Vì phương chiếu \(l\) là đường thẳng \(AB\) nên hình chiếu của \(A\) và \(B\) chính là giao điểm của \(AB\) và \(\left( P \right)\).
Do đó \(AB \cap \left( P \right) = A' \equiv B'\)
Các đường thẳng lần lượt đi qua \(C,D\) song song với \(AB\) cắt \(\left( P \right)\) tại \(C',D'\)
thì \(C',D'\) chính là hình chiếu của \(C,D\) lên \(\left( P \right)\) theo phương \(AB\).
Vậy hình chiếu của tứ diện \(ABCD\) là tam giác \(A'C'D'\).
5. Các bài toán về tính tỉ số của hai đoạn thẳng và chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp:
Để tính tỉ số của điểm \(M\) chia đoạn \(AB\) (tính \(\frac{{MA}}{{MB}}\)) ta xét phép
Chiếu song song lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) theo phương \(l\) không song song với \(AB\) sao cho ảnh của \(M,A,B\) là ba điểm \(M',A',B'\) mà ta có thể tính được \(\frac{{M'A'}}{{M'B'}}\), khi đó \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{M'A'}}{{M'B'}}\).
Ví dụ:
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Xác định các điểm \(M,N\) tương ứng trên các đoạn \(AC',B'D'\) sao cho \(MN\) song song với \(BA'\) và tính tỉ số \(\frac{{MA}}{{MC'}}\).
Hướng dẫn:
Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) theo phương chiếu \(BA'\). Ta có \(N\) là ảnh của \(M\) hay \(M\) chính là giao điểm của \(B'D'\) và ảnh \(AC'\) qua phép chiếu này. Do đó ta xác định \(M,N\) như sau:
Trên \(A'B'\) kéo dài lấy điểm \(K\) sao cho \(A'K = B'A'\) thì \(ABA'K\) là hình bình hành nên \(AK//BA'\) suy ra \(K\) là ảnh của \(A\) trên \(AC'\) qua phép chiếu song song.
Gọi \(N = B'D' \cap KC'\). Đường thẳng qua \(N\) và song song với \(AK\) cắt \(AC'\) tại \(M\). Ta có \(M,N\) là các điểm cần xác định.
Theo định lí Thales, ta có \(\frac{{MA}}{{MC'}} = \frac{{NK}}{{NC'}} = \frac{{KB'}}{{C'D'}} = 2\).