Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

- Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

- Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

- Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

- Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.

Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng .

- Trên mỗi mặt phẳng các, kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết:

- Nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.

- Nó đi qua một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó.

- Nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Các kí hiệu:

+ \(\left( {ABC} \right)\) là kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng \(A,B,C\) ( h1)

+ \(\left( {M,d} \right)\) là kí hiệu mặt phẳng đi qua \(d\) và điểm \(M \notin d\) (h2)

+ \(\left( {{d_1},{d_2}} \right)\) là kí hiệu mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau \({d_1},{d_2}\) (h3)

a) Hình chóp

Trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cho đa giác lồi \({A_1}{A_2}...{A_n}\).

Lấy điểm \(S\) nằm ngoài \(\left( \alpha  \right)\).

Lần lượt nối \(S\) với các đỉnh \({A_1},{A_2},...,{A_n}\) ta được \(n\) tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\).

Hình gồm đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\) và \(n\) tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\) được gọi là hình chóp , kí hiệu là \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\).

Ta gọi \(S\) là đỉnh, đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\) là đáy, các đoạn \(S{A_1},S{A_2},...,S{A_n}\) là các cạnh bên, \({A_1}{A_2},{A_2}{A_3},...,{A_n}{A_1}\) là các cạnh đáy, các tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\) là các mặt bên…

b) Hình tứ diện

Cho bốn điểm \(A,B,C,D\) không đồng phẳng.

Hình gồm bốn tam giác \(ABC,ABD,ACD, BCD\) được gọi là tứ diện \(ABCD\).

4. Bài toán Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Phương pháp: Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến.

Lưu ý: Điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) thường được tìm như sau :

Tìm hai đường thẳng \(a,b\) lần lượt thuộc \(\left( \alpha  \right)\)và \(\left( \beta  \right)\), đồng thời chúng cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( \gamma  \right)\) nào đó; giao điểm \(M = a \cap b\) chính là điểm chung của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\).

Ví dụ:

Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm \(M\) thuộc cạnh \(SA\).

Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng:

a) \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

 b) \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {MBD} \right)\).  

c) \(\left( {MBC} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\).    

d) \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

Hướng dẫn giải:

a) Gọi \(O = AC \cap BD\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\end{array}\)

Lại có \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)

\( \Rightarrow SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

b) \(O = AC \cap BD\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {MBD} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {MBD} \right)\).

Và \(M \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {MBD} \right) \)

\(\Rightarrow OM = \left( {SAC} \right) \cap \left( {MBD} \right)\).

c) Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(F = BC \cap AD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F \in BC \subset \left( {MBC} \right)\\F \in AD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\)

Và \(M \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) \)

\(\Rightarrow FM = \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\)

d) Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(E = AB \cap CD\), ta có \(SE = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\).

5. Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy

Phương pháp:

• Để chứng minh ba điểm (hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyên của hai mặt phẳng nên thẳng hàng.
• Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng thuộc đường đường thẳng còn lại.

Ví dụ 1:

Cho tứ diện \(SABC\). Trên \(SA,SB\) và \(SC\) lấy các điểm \(D,E\) và \(F\) sao cho \(DE\) cắt \(AB\) tại \(I\),\(EF\) cắt \(BC\) tại \(J\), \(FD\) cắt \(CA\) tại \(K\). Chứng minh \(I, J, K\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Ta có \(I = DE \cap AB,DE \subset \left( {DEF} \right) \)

\(\Rightarrow I \in \left( {DEF} \right);\)

\(AB \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow I \in \left( {ABC} \right){\rm{  }}\left( 1 \right)\).

Tương tự \(J = EF \cap BC\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}J \in EF \in \left( {DEF} \right)\\J \in BC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right.{\rm{  }}\left( 2 \right)\)\(K = DF \cap AC\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \in DF \subset \left( {DEF} \right)\\K \in AC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right.{\rm{  }}\left( 3 \right)\)

Từ (1),(2) và (3) ta có \(I,J,K\) là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {DEF} \right)\) nên chúng thẳng hàng.

Ví dụ 2:

Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\), gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Một mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cắt các cạnh bên \(SA,SB,SC,SD\) tưng ứng tại các điểm \(M,N,P,Q\). Chứng minh \(MN, PQ, SO\) đồng quy.

Hướng dẫn giải:

Trong mặt phẳng \(\left( {MNPQ} \right)\), 

gọi \(I = MP \cap NQ\).

Ta sẽ chứng minh \(I \in SO\) .

Dễ  thấy \(SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}I \in MP \subset \left( {SAC} \right)\\I \in NQ \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in \left( {SAC} \right)\\I \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in SO\)

Vậy \(MP,NQ,SO\) đồng qui tại \(I\).

6. Bài toán Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Để tìm giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta cần lưu ý một số trường hợp sau:

Trường hợp 1. Nếu trong \(\left( P \right)\) có sẵn một đường thẳng \(d'\) cắt \(d\) tại \(M\), khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}M \in d\\M \in d' \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in d\\M \in \left( P \right)\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow M = d \cap \left( P \right)\)

Trường hợp 2. Nếu trong \(\left( P \right)\) chưa có sẵn \(d'\) cắt \(d\) thì ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Chọn một mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(d\)
• Bước 2: Tìm giao tuyến \(\Delta  = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\)
• Bước 3: Trong \(\left( Q \right)\) gọi \(M = d \cap \Delta \) thì \(M\) chính là giao điểm của \(d \cap \left( P \right)\).

Ví dụ :

Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) với đáy \(ABCD\) có các cạnh đối diện không song song với nhau và \(M\) là một điểm trên cạnh \(SA\).

a) Tìm giao điểm của đường thẳng \(SB\) với mặt phẳng \(\left( {MCD} \right)\).

b) Tìm giao điểm của đường thẳng \(MC\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).

Hướng dẫn:

a) Trong \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(E = AB \cap CD\).

Trong \(\left( {SAB} \right)\), gọi \(N = EM \cap SB\)

Ta có

\(N \in EM \subset \left( {MCD} \right) \Rightarrow N \in \left( {MCD} \right)\) và

\(N \in SB\) nên \(N = SB \cap \left( {MCD} \right)\).

b) Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(I = AC \cap BD\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(K = MC \cap SI\).

Ta có \(K \in SI \subset \left( {SBD} \right)\) và \(K \in MC\) nên \(K = MC \cap \left( {SBD} \right)\).

- Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

- Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

- Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

- Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.

Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng .

- Trên mỗi mặt phẳng các, kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết:

- Nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.

- Nó đi qua một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó.

- Nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Các kí hiệu:

+ \(\left( {ABC} \right)\) là kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng \(A,B,C\) ( h1)

+ \(\left( {M,d} \right)\) là kí hiệu mặt phẳng đi qua \(d\) và điểm \(M \notin d\) (h2)

+ \(\left( {{d_1},{d_2}} \right)\) là kí hiệu mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau \({d_1},{d_2}\) (h3)

a) Hình chóp

Trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cho đa giác lồi \({A_1}{A_2}...{A_n}\).

Lấy điểm \(S\) nằm ngoài \(\left( \alpha  \right)\).

Lần lượt nối \(S\) với các đỉnh \({A_1},{A_2},...,{A_n}\) ta được \(n\) tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\).

Hình gồm đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\) và \(n\) tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\) được gọi là hình chóp , kí hiệu là \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\).

Ta gọi \(S\) là đỉnh, đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\) là đáy, các đoạn \(S{A_1},S{A_2},...,S{A_n}\) là các cạnh bên, \({A_1}{A_2},{A_2}{A_3},...,{A_n}{A_1}\) là các cạnh đáy, các tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\) là các mặt bên…

b) Hình tứ diện

Cho bốn điểm \(A,B,C,D\) không đồng phẳng.

Hình gồm bốn tam giác \(ABC,ABD,ACD, BCD\) được gọi là tứ diện \(ABCD\).

4. Bài toán Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Phương pháp: Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến.

Lưu ý: Điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) thường được tìm như sau :

Tìm hai đường thẳng \(a,b\) lần lượt thuộc \(\left( \alpha  \right)\)và \(\left( \beta  \right)\), đồng thời chúng cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( \gamma  \right)\) nào đó; giao điểm \(M = a \cap b\) chính là điểm chung của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\).

Ví dụ:

Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm \(M\) thuộc cạnh \(SA\).

Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng:

a) \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

 b) \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {MBD} \right)\).  

c) \(\left( {MBC} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\).    

d) \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

Hướng dẫn giải:

a) Gọi \(O = AC \cap BD\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\end{array}\)

Lại có \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)

\( \Rightarrow SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

b) \(O = AC \cap BD\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {MBD} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {MBD} \right)\).

Và \(M \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {MBD} \right) \)

\(\Rightarrow OM = \left( {SAC} \right) \cap \left( {MBD} \right)\).

c) Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(F = BC \cap AD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F \in BC \subset \left( {MBC} \right)\\F \in AD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\)

Và \(M \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) \)

\(\Rightarrow FM = \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\)

d) Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(E = AB \cap CD\), ta có \(SE = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\).

5. Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy

Phương pháp:

• Để chứng minh ba điểm (hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyên của hai mặt phẳng nên thẳng hàng.
• Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng thuộc đường đường thẳng còn lại.

Ví dụ 1:

Cho tứ diện \(SABC\). Trên \(SA,SB\) và \(SC\) lấy các điểm \(D,E\) và \(F\) sao cho \(DE\) cắt \(AB\) tại \(I\),\(EF\) cắt \(BC\) tại \(J\), \(FD\) cắt \(CA\) tại \(K\). Chứng minh \(I, J, K\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Ta có \(I = DE \cap AB,DE \subset \left( {DEF} \right) \)

\(\Rightarrow I \in \left( {DEF} \right);\)

\(AB \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow I \in \left( {ABC} \right){\rm{  }}\left( 1 \right)\).

Tương tự \(J = EF \cap BC\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}J \in EF \in \left( {DEF} \right)\\J \in BC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right.{\rm{  }}\left( 2 \right)\)\(K = DF \cap AC\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \in DF \subset \left( {DEF} \right)\\K \in AC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right.{\rm{  }}\left( 3 \right)\)

Từ (1),(2) và (3) ta có \(I,J,K\) là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {DEF} \right)\) nên chúng thẳng hàng.

Ví dụ 2:

Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\), gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Một mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cắt các cạnh bên \(SA,SB,SC,SD\) tưng ứng tại các điểm \(M,N,P,Q\). Chứng minh \(MN, PQ, SO\) đồng quy.

Hướng dẫn giải:

Trong mặt phẳng \(\left( {MNPQ} \right)\), 

gọi \(I = MP \cap NQ\).

Ta sẽ chứng minh \(I \in SO\) .

Dễ  thấy \(SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}I \in MP \subset \left( {SAC} \right)\\I \in NQ \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in \left( {SAC} \right)\\I \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in SO\)

Vậy \(MP,NQ,SO\) đồng qui tại \(I\).

6. Bài toán Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Để tìm giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta cần lưu ý một số trường hợp sau:

Trường hợp 1. Nếu trong \(\left( P \right)\) có sẵn một đường thẳng \(d'\) cắt \(d\) tại \(M\), khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}M \in d\\M \in d' \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in d\\M \in \left( P \right)\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow M = d \cap \left( P \right)\)

Trường hợp 2. Nếu trong \(\left( P \right)\) chưa có sẵn \(d'\) cắt \(d\) thì ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Chọn một mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(d\)
• Bước 2: Tìm giao tuyến \(\Delta  = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\)
• Bước 3: Trong \(\left( Q \right)\) gọi \(M = d \cap \Delta \) thì \(M\) chính là giao điểm của \(d \cap \left( P \right)\).

Ví dụ :

Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) với đáy \(ABCD\) có các cạnh đối diện không song song với nhau và \(M\) là một điểm trên cạnh \(SA\).

a) Tìm giao điểm của đường thẳng \(SB\) với mặt phẳng \(\left( {MCD} \right)\).

b) Tìm giao điểm của đường thẳng \(MC\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).

Hướng dẫn:

a) Trong \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(E = AB \cap CD\).

Trong \(\left( {SAB} \right)\), gọi \(N = EM \cap SB\)

Ta có

\(N \in EM \subset \left( {MCD} \right) \Rightarrow N \in \left( {MCD} \right)\) và

\(N \in SB\) nên \(N = SB \cap \left( {MCD} \right)\).

b) Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(I = AC \cap BD\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(K = MC \cap SI\).

Ta có \(K \in SI \subset \left( {SBD} \right)\) và \(K \in MC\) nên \(K = MC \cap \left( {SBD} \right)\).