Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Định lí: \({(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \)

\(= C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} \)

\(+ ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Trong khai triển Newton \({(a + b)^n}\) có các tính chất sau

- Gồm có \(n + 1\) số hạng

- Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n

- Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

- Các hệ số có tính đối xứng: \(C_n^k = C_n^{n - k}\)

- Số hạng tổng quát : \({T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\)

VD: Số hạng thứ nhất \({T_1} = {T_{0 + 1}} = C_n^0{a^n}\),

Số hạng thứ k:

\({T_{(k - 1) + 1}} = C_n^{k - 1}{a^{n - k + 1}}{b^{k - 1}}\)

Ta có : \({(1 + x)^n} = C_n^0 + xC_n^1 + {x^2}C_n^2 + ... + {x^n}C_n^n\)

Từ khai triển này ta có các kết quả sau:

- \(C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n = {2^n}\)

- \(C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - ... + {( - 1)^n}C_n^n = 0\)

Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) trong khai triển:

\({\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n}\) với \(x > 0\)      (\(p,q\) là các hằng số khác nhau).

Phương pháp giải:

Ta có:

\({\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {a{x^p}} \right)}^{n - k}}{{\left( {b{x^q}} \right)}^k}}  \)

\(= \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}{x^{np - pk + qk}}} \)

Số hạng chứa \({x^m}\) ứng với giá trị \(k\) thỏa: \(np - pk + qk = m\).

Từ đó tìm \(k = \frac{{m - np}}{{p - q}}\)

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) là: \(C_n^k{a^{n - k}}.{b^k}\) với giá trị \(k\) đã tìm được ở trên.

Nếu \(k\) không nguyên hoặc \(k > n\) thì trong khai triển không chứa \({x^m}\), hệ số phải tìm bằng 0.

Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) trong khai triển

\(P\left( x \right) = {\left( {a + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n}\) được viết dưới dạng \({a_0} + {a_1}x + ... + {a_{2n}}{x^{2n}}\).

Ta làm như sau:

- Viết \(P\left( x \right) = {\left( {a + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n} \)

\(= \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{{\left( {b{x^p} + c{x^q}} \right)}^k}} \);

- Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng \({\left( {b{x^p} + c{x^q}} \right)^k}\) thành một đa thức theo luỹ thừa của x.

- Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của \({x^m}\).

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

- Tính hệ số \({a_k}\) theo \(k\) và \(n\);

- Giải bất phương trình \({a_{k - 1}} \le {a_k}\) với ẩn số \(k\);

- Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.

5. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tìm hệ số \(x_{16}\) trong khai triền \((x^2-2x)^{10}\).

Hướng dẫn giải: 

Ta có: \({\left( {{x^2} - 2x} \right)^{10}} = \,{\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^2})} ^{10 - k}}{\left. { - 2x} \right)^k}\)

\(= \,\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 - 2k}}{x^k}} {\left. { - 2} \right)^k} = \,\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 - k}}} {\left. { - 2} \right)^k}\)

Ta chọn: \(20 - k= 16\) \(\Leftrightarrow \,k = 4\)

=> Hệ số \(x_{16}\) trong khai triển là \(C_{10}^4 = 3360\)

Ví dụ 2:

Biết hệ số của \(x^2\) trong khai triển của \((1-3x)^n\) là 90. Tìm n.

Hướng dẫn giải: 

Với số thực \(x \ne 0\) và với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), ta có:

\({(1 - 3x)^n} = \,{[1 - (3x)]^n} \)

\(\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {(1)^{n - k}}{( - 3)^k}{x^k}\)

Suy ra hệ số của \(x^2\) trong khai triển này là \({3^2}C_n^2\). Theo giả thiết, ta có:

\({3^2}C_n^2= 90\Rightarrow\)\(C_n^2\, = 10\)

Từ đó ta có: 

\(\frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} = 10\, \Leftrightarrow \,n(n - 1)\, = \,20\)

\(\Leftrightarrow \,{n^2}\, - \,n = \,20\, \Leftrightarrow \,n = \, - 4\) (loại) hoặc \(n= 5\)

Đáp số: \(n= 5\)

Ví dụ 3:

Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển \(f(x) = {\left( {x - \frac{2}{x}} \right)^{12}}{\rm{    (}}x \ne 0).\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(f(x) = {(x - 2.{x^{ - 1}})^{12}}\)

\(= \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{x^{12 - k}}.{{( - 2{x^{ - 1}})}^k}} \)

\(=\sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{{( - 2)}^k}{x^{12 - 2k}}} \)

Số hạng không chứa \(x\) ứng với giá trị \(k\) thỏa mãn: \(12 - 2k = 0\Leftrightarrow k = 6\)

\(\Rightarrow \) số hạng không chứa \(x\) là:

\(C_{12}^6{.2^6} = 59136\).

Ví dụ 4:

Xác định hệ số của \({x^4}\) trong khai triển sau: \(f(x) = {(3{x^2} + 2x + 1)^{10}}\).

Hướng dẫn giải:

\(f\left( x \right) = {\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}} \)

\(= \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {2x + 3{x^2}} \right)^k}\)

\( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {(2x)^{k - i}}.{(3{x^2})^i} \)

\(= \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {2^{k - i}}{.3^i}{x^{k + i}}\)

với \(0 \le i \le k \le 10\).

Do đó \(k + i = 4\) với các trường hợp \(i = 0,k = 4\) hoặc \(i = 1,k = 3\) hoặc \(i = k = 2\).

Vậy hệ số chứa \({x^4}\):

\({2^4}C_{10}^4.C_4^0 + {2^2}{3^1}C_{10}^3.C_3^1 + {3^2}C_{10}^2.C_2^2 \)

\(= 8085\).

Định lí: \({(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \)

\(= C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} \)

\(+ ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Trong khai triển Newton \({(a + b)^n}\) có các tính chất sau

- Gồm có \(n + 1\) số hạng

- Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n

- Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

- Các hệ số có tính đối xứng: \(C_n^k = C_n^{n - k}\)

- Số hạng tổng quát : \({T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\)

VD: Số hạng thứ nhất \({T_1} = {T_{0 + 1}} = C_n^0{a^n}\),

Số hạng thứ k:

\({T_{(k - 1) + 1}} = C_n^{k - 1}{a^{n - k + 1}}{b^{k - 1}}\)

Ta có : \({(1 + x)^n} = C_n^0 + xC_n^1 + {x^2}C_n^2 + ... + {x^n}C_n^n\)

Từ khai triển này ta có các kết quả sau:

- \(C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n = {2^n}\)

- \(C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - ... + {( - 1)^n}C_n^n = 0\)

Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) trong khai triển:

\({\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n}\) với \(x > 0\)      (\(p,q\) là các hằng số khác nhau).

Phương pháp giải:

Ta có:

\({\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {a{x^p}} \right)}^{n - k}}{{\left( {b{x^q}} \right)}^k}}  \)

\(= \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}{x^{np - pk + qk}}} \)

Số hạng chứa \({x^m}\) ứng với giá trị \(k\) thỏa: \(np - pk + qk = m\).

Từ đó tìm \(k = \frac{{m - np}}{{p - q}}\)

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) là: \(C_n^k{a^{n - k}}.{b^k}\) với giá trị \(k\) đã tìm được ở trên.

Nếu \(k\) không nguyên hoặc \(k > n\) thì trong khai triển không chứa \({x^m}\), hệ số phải tìm bằng 0.

Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) trong khai triển

\(P\left( x \right) = {\left( {a + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n}\) được viết dưới dạng \({a_0} + {a_1}x + ... + {a_{2n}}{x^{2n}}\).

Ta làm như sau:

- Viết \(P\left( x \right) = {\left( {a + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n} \)

\(= \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{{\left( {b{x^p} + c{x^q}} \right)}^k}} \);

- Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng \({\left( {b{x^p} + c{x^q}} \right)^k}\) thành một đa thức theo luỹ thừa của x.

- Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của \({x^m}\).

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

- Tính hệ số \({a_k}\) theo \(k\) và \(n\);

- Giải bất phương trình \({a_{k - 1}} \le {a_k}\) với ẩn số \(k\);

- Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.

5. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tìm hệ số \(x_{16}\) trong khai triền \((x^2-2x)^{10}\).

Hướng dẫn giải: 

Ta có: \({\left( {{x^2} - 2x} \right)^{10}} = \,{\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^2})} ^{10 - k}}{\left. { - 2x} \right)^k}\)

\(= \,\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 - 2k}}{x^k}} {\left. { - 2} \right)^k} = \,\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 - k}}} {\left. { - 2} \right)^k}\)

Ta chọn: \(20 - k= 16\) \(\Leftrightarrow \,k = 4\)

=> Hệ số \(x_{16}\) trong khai triển là \(C_{10}^4 = 3360\)

Ví dụ 2:

Biết hệ số của \(x^2\) trong khai triển của \((1-3x)^n\) là 90. Tìm n.

Hướng dẫn giải: 

Với số thực \(x \ne 0\) và với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), ta có:

\({(1 - 3x)^n} = \,{[1 - (3x)]^n} \)

\(\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {(1)^{n - k}}{( - 3)^k}{x^k}\)

Suy ra hệ số của \(x^2\) trong khai triển này là \({3^2}C_n^2\). Theo giả thiết, ta có:

\({3^2}C_n^2= 90\Rightarrow\)\(C_n^2\, = 10\)

Từ đó ta có: 

\(\frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} = 10\, \Leftrightarrow \,n(n - 1)\, = \,20\)

\(\Leftrightarrow \,{n^2}\, - \,n = \,20\, \Leftrightarrow \,n = \, - 4\) (loại) hoặc \(n= 5\)

Đáp số: \(n= 5\)

Ví dụ 3:

Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển \(f(x) = {\left( {x - \frac{2}{x}} \right)^{12}}{\rm{    (}}x \ne 0).\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(f(x) = {(x - 2.{x^{ - 1}})^{12}}\)

\(= \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{x^{12 - k}}.{{( - 2{x^{ - 1}})}^k}} \)

\(=\sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{{( - 2)}^k}{x^{12 - 2k}}} \)

Số hạng không chứa \(x\) ứng với giá trị \(k\) thỏa mãn: \(12 - 2k = 0\Leftrightarrow k = 6\)

\(\Rightarrow \) số hạng không chứa \(x\) là:

\(C_{12}^6{.2^6} = 59136\).

Ví dụ 4:

Xác định hệ số của \({x^4}\) trong khai triển sau: \(f(x) = {(3{x^2} + 2x + 1)^{10}}\).

Hướng dẫn giải:

\(f\left( x \right) = {\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}} \)

\(= \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {2x + 3{x^2}} \right)^k}\)

\( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {(2x)^{k - i}}.{(3{x^2})^i} \)

\(= \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {2^{k - i}}{.3^i}{x^{k + i}}\)

với \(0 \le i \le k \le 10\).

Do đó \(k + i = 4\) với các trường hợp \(i = 0,k = 4\) hoặc \(i = 1,k = 3\) hoặc \(i = k = 2\).

Vậy hệ số chứa \({x^4}\):

\({2^4}C_{10}^4.C_4^0 + {2^2}{3^1}C_{10}^3.C_3^1 + {3^2}C_{10}^2.C_2^2 \)

\(= 8085\).