Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
1. Giai thừa
a) Định nghĩa
Với mọi số tự nhiên dương \(n\), tích \(1.2.3....n\) được gọi là \(n\) - giai thừa và kí hiệu \(n!\). Vậy \(n! = 1.2.3...n\).
Ta quy ước \(0! = 1\).
b) Tính chất
\(\begin{array}{l}*{\rm{ }}n! = n(n - 1)!\\*{\rm{ }}n! = n(n - 1)(n - 2)...(n - k - 1).k!\end{array}\).
2. Hoán vị
a) Định nghĩa
Cho tập \(A\) gồm \(n\) phần tử (\(n \ge 1\)). Khi sắp xếp \(n\) phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập A.
Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là \({P_n}\).
b) Số hoán vị của tập n phần tử
Định lí: Ta có \({P_n} = n!\)
3. Chỉnh hợp
a) Định nghĩa
Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên \(k\) với \(1 \le k \le n\). Khi lấy \(k\) phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử của A.
b) Số chỉnh hợp
Kí hiệu \(A_n^k\) là số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử
Định lí: Ta có \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).
4. Tổ hợp
a) Định nghĩa
Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với \(1 \le k \le n\). Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.
b) Số tổ hợp
Kí hiệu \(C_n^k\) là số tổ hợp chập k của n phần tử.
Định lí:
Ta có: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).
c) Tính chất của các số \(C_n^k\)
Tính chất 1: \(C_n^k = C_n^{n - k}\) với \(0 \le k \le n.\)
Tính chất 2: (Công thức Pa-xcan)
\(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = C_n^k\) với \(1 \le k < n.\)
5. Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.
Hướng dẫn giải:
Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị.
Vậy có P5 = 5! = 120 (cách).
Ví dụ 2:
Từ tập hợp X= {0; 1; 2; 3; 4; 5} có thể lập được mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.
Hướng dẫn giải:
Gọi A= \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}}\) là số cần lập với \({a_1} \ne 0\) và a1, a2, a3, a4 phân biệt.
- Chữ số \({a_1} \ne 0\) nên có 5 cách chọn a1.
- Chọn 3 trong số 5 chữ số còn lại để sắp xếp vào 3 vị trí có \(A_5^3\) cách.
Vậy có \(5.A_5^3= 300\) số có thể lập từ tập hợp X.
Ví dụ 3:
Có 10 cuố sách toán khác nhau. Chọn ra 4 cuốn hỏi có bao nhiêu cách.
Hướng dẫn giải:
Mỗi cách chọn ra 4 trong số 10 cuốn sách là một tổ hợp chập 4 của 10.
Vậy có \(C_{10}^4\) = 210 (cách chọn).
Ví dụ 4:
Có bao nhiêu cách xếp \(5\) cuốn sách Toán, \(6\) cuốn sách Lý và \(8\) cuốn sách Hóa lên một kệ sách sao cho các cuốn sách cùng một môn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách đôi một khác nhau.
Hướng dẫn giải:
Ta xếp các cuốn sách cùng một bộ môn thành một nhóm
Trước hết ta xếp 3 nhóm lên kệ sách chúng ta có: \(3! = 6\) cách xếp
Với mỗi cách xếp 3 nhóm đó lên kệ ta có \(5!\) cách hoán vị các cuốn sách Toán, \(6!\) cách hoán vị các cuốn sách Lý và \(8!\) cách hoán vị các cuốn sách Hóa
Vậy theo quy tắc nhân có tất cả: \(6.5!.6!.8!\) cách xếp
Ví dụ 5:
Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách.
Hướng dẫn giải:
- Trường hợp 1: Chọn 1 nữ và 2 nam.
+ Chọn 1 trong 3 nữ có 3 cách.
+ Chọn 2 trong 5 nam có \(C_5^2\) cách.
Suy ra có \(3C_5^2\) cách chọn
- Trường hợp 2: Chọn 2 nữ và 1 nam.
+ Chọn 2 trong 3 nữ có \(C_3^2\) cách.
+ Chọn 1 trong 5 nam có 5 cách.
Suy ra có \(5C_3^2\) cách chọn.
- Trường hợp 3: Chọn cả 3 nữ, có 1 cách.
Vậy có tất cả: \(3C_5^2+ 5C_3^2+ 1 = 46\) (cách).
1. Giai thừa
a) Định nghĩa
Với mọi số tự nhiên dương \(n\), tích \(1.2.3....n\) được gọi là \(n\) - giai thừa và kí hiệu \(n!\). Vậy \(n! = 1.2.3...n\).
Ta quy ước \(0! = 1\).
b) Tính chất
\(\begin{array}{l}*{\rm{ }}n! = n(n - 1)!\\*{\rm{ }}n! = n(n - 1)(n - 2)...(n - k - 1).k!\end{array}\).
2. Hoán vị
a) Định nghĩa
Cho tập \(A\) gồm \(n\) phần tử (\(n \ge 1\)). Khi sắp xếp \(n\) phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập A.
Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là \({P_n}\).
b) Số hoán vị của tập n phần tử
Định lí: Ta có \({P_n} = n!\)
3. Chỉnh hợp
a) Định nghĩa
Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên \(k\) với \(1 \le k \le n\). Khi lấy \(k\) phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử của A.
b) Số chỉnh hợp
Kí hiệu \(A_n^k\) là số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử
Định lí: Ta có \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).
4. Tổ hợp
a) Định nghĩa
Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với \(1 \le k \le n\). Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.
b) Số tổ hợp
Kí hiệu \(C_n^k\) là số tổ hợp chập k của n phần tử.
Định lí:
Ta có: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).
c) Tính chất của các số \(C_n^k\)
Tính chất 1: \(C_n^k = C_n^{n - k}\) với \(0 \le k \le n.\)
Tính chất 2: (Công thức Pa-xcan)
\(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = C_n^k\) với \(1 \le k < n.\)
5. Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.
Hướng dẫn giải:
Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị.
Vậy có P5 = 5! = 120 (cách).
Ví dụ 2:
Từ tập hợp X= {0; 1; 2; 3; 4; 5} có thể lập được mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.
Hướng dẫn giải:
Gọi A= \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}}\) là số cần lập với \({a_1} \ne 0\) và a1, a2, a3, a4 phân biệt.
- Chữ số \({a_1} \ne 0\) nên có 5 cách chọn a1.
- Chọn 3 trong số 5 chữ số còn lại để sắp xếp vào 3 vị trí có \(A_5^3\) cách.
Vậy có \(5.A_5^3= 300\) số có thể lập từ tập hợp X.
Ví dụ 3:
Có 10 cuố sách toán khác nhau. Chọn ra 4 cuốn hỏi có bao nhiêu cách.
Hướng dẫn giải:
Mỗi cách chọn ra 4 trong số 10 cuốn sách là một tổ hợp chập 4 của 10.
Vậy có \(C_{10}^4\) = 210 (cách chọn).
Ví dụ 4:
Có bao nhiêu cách xếp \(5\) cuốn sách Toán, \(6\) cuốn sách Lý và \(8\) cuốn sách Hóa lên một kệ sách sao cho các cuốn sách cùng một môn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách đôi một khác nhau.
Hướng dẫn giải:
Ta xếp các cuốn sách cùng một bộ môn thành một nhóm
Trước hết ta xếp 3 nhóm lên kệ sách chúng ta có: \(3! = 6\) cách xếp
Với mỗi cách xếp 3 nhóm đó lên kệ ta có \(5!\) cách hoán vị các cuốn sách Toán, \(6!\) cách hoán vị các cuốn sách Lý và \(8!\) cách hoán vị các cuốn sách Hóa
Vậy theo quy tắc nhân có tất cả: \(6.5!.6!.8!\) cách xếp
Ví dụ 5:
Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách.
Hướng dẫn giải:
- Trường hợp 1: Chọn 1 nữ và 2 nam.
+ Chọn 1 trong 3 nữ có 3 cách.
+ Chọn 2 trong 5 nam có \(C_5^2\) cách.
Suy ra có \(3C_5^2\) cách chọn
- Trường hợp 2: Chọn 2 nữ và 1 nam.
+ Chọn 2 trong 3 nữ có \(C_3^2\) cách.
+ Chọn 1 trong 5 nam có 5 cách.
Suy ra có \(5C_3^2\) cách chọn.
- Trường hợp 3: Chọn cả 3 nữ, có 1 cách.
Vậy có tất cả: \(3C_5^2+ 5C_3^2+ 1 = 46\) (cách).