Bài 2: Con lắc lò xo

Video bài giảng

1. Con lắc lò xo

Con lắc lò xo gồm một vật nặng m gắn vào 1 đầu của lò xo có độ cứng k và khối lượng không đáng kể. Đầu còn lại của lò xo cố định.
Con lắc có 1 vị trí cân bằng mà khi ta thả vật ra vật sẽ đứng yên mãi. Nếu kéo vật khỏi vị trí cân bằng buông ra vật sẽ dao động quanh vị trí cân bằng, giữa hai vị trí biên.

2. Khảo sát dao động của con lắc lò xo về mặt động lực học

Xét vật ở li độ x, lò xo giản một đoạn \(\Delta l = x\) , lực đàn hồi \(F= -k \Delta l\)
Tổng lực tác dụng lên vật \(F =- kx\)
Theo định luật II Niu tơn: \(a = -\frac{k}{m} x\)
Đặt \(\omega^2 = \frac{k}{m}\) \(\Rightarrow a+ \omega^2 x = 0\)
Dao động của con lắc lò xo là dao động điều hòa:
- Tần số góc: \(\omega= \sqrt{\frac{k}{m}}\)
- Chu kì: \(T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)
Lực hướng về vị trí cân bằng gọi là lực kéo về. Lực kéo về có độ lớn tỉ lệ với li độ và gây gia tốc cho vật dao động điều hòa.
- Biểu thức : \(F = - kx = - m{\omega ^2}x\)
- Đặc điểm:
  - Là lực gây ra gia tốc cho vật dao động
  - Luôn hướng về VTCB và tỉ lệ với li độ dao động
  - Biến thiên điều hoà cùng tần số với li độ

3. Khảo sát dao động của lò xo về mặt năng lượng

a. Động năng của con lắc lò xo.

\(W_d = \frac{1}{2} m v^2\) (J)

b. Thế năng của con lắc lò xo.

\(W_t = \frac{1}{2} k x^2\) (J)

Chú ý : Thế năng và động năng của con lắc lò xo biến thiên điều hòa với chu kì \(\frac{T}{2}\).

c. Cơ năng của con lắc lò xo. Sự bảo toàn cơ năng.

Cơ năng của con lắc:

\(W =\frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k x^2\) (J)

Khi không có ma sát thì cơ năng của con lắc được bảo toàn. Nó chỉ biến đổi từ thế năng sang động năng và ngược lại:

\(\Rightarrow W =\frac{1}{2} k A^2 =\frac{1}{2} m\omega^2 A^2\) = Hằng số

Nhận xét:
- Động năng và thế năng biến thiên cùng tần số góc \(2\omega \), tần số \(2f\), chu kỳ \(\frac{T}{2}\)
- Thời gian liên tiếp giữa 2 lần động năng bằng thế năng là \(\frac{T}{4}\)
- Cơ năng của con lắc lò xo luôn được bảo toàn và tỉ lệ với bình phương biên độ dao động

d. Chú ý :

Đối với lò xo thẳng đứng :

Độ biến dạng của lò xo thẳng đứng khi vật ở VTCB:

\(\Delta l = \frac{{mg}}{k}\) ⇒ \(T = 2\pi \sqrt {\frac{{\Delta l}}{g}}\)

Chiều dài lò xo tại VTCB:

\({l_{CB}} = {l_0} + \Delta l\,\,({l_0}\) là chiều dài tự nhiên \()\)

Chiều dài cực tiểu (khi vật ở vị trí cao nhất): \({l_{Min}} = {l_0} + \Delta l-A\)
Chiều dài cực đại (khi vật ở vị trí thấp nhất): \({l_{Max}} = {l_0} + \Delta l + A\)

\( \Rightarrow {l_{CB}} = \frac{{{l_{Min}} + {\rm{ }}{l_{Max}}}}{2}\)

Lực đàn hồi cực đại: \({F_{Max}} = k(\Delta l + A)\) (lúc vật ở vị trí thấp nhất)
Lực đàn hồi cực tiểu
- Nếu \(A{\rm{ }} < \Delta l \Rightarrow {F_{Min}} = k(\Delta l - A)\)
- Nếu \(A{\rm{ }} \ge \Delta l \Rightarrow {F_{Min}} = 0\) (lúc vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng)

Bài 1:

Một con lắc lò xo dao động điều hòa. Lò xo có độ cứng K=40 N/m. Khi vật m của con lắc đi qua vị trí có li độ \(x= -2 cm\)thì thế năng của con lắc là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Ta có thế năng:

\(W_t=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}.40.(-0,02)^2 = 0,008 (J)\)

Bài 2:

Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T=0,5s, khối lượng của quả nặng là m=400g. Lấy \(\pi^2 =10\) , Tính độ cứng của lò xo.

Hướng dẫn giải:

Theo công thức tính chu kì dao động:

\(T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)\(\Rightarrow k=\frac{4\pi^2}{T^2}m\)\(\Rightarrow k=\frac{4\pi^2m}{T^2}=64 (N/m)\)

Bài 3:

Một con lắc lò xo gồm một vật có khối lượng m = 0,4 kg và một lò xo có độ cứng k = 80 N/m. con lắc dao động điều hòa với biên độ bằng 0,1 m. Tính tốc độ của con lắc khi qua vị trí căn bằng?

Hướng dẫn giải:

Ta có: Khi con lắc qua vị trí cân bằng (x = 0) thì thế năng bằng 0, động năng cực đại (bằng cơ năng):

\(\frac{1}{2}mv_{max}^{2}=\frac{1}{2}K.A^2\)

\( \Rightarrow {v_{max}} = A.\sqrt {\frac{k}{m}} = 0,1{\rm{ }}\sqrt {\frac{{80}}{{0,4}}} \approx 1,4m/s\)

Bài 4:

Một con lắc lò xo treo thẳng đứng \((m = 250 g ; k = 100 N/m)\). Đưa vật lên trên theo phương thẳng đứng đến vị trí lò xo dãn \(0,5 cm\) rồi thả nhẹ. Lấy \(g = 10{\rm{ }}m/{s^2}\) . Tốc độ trung bình của vật trong thời gian từ lúc buông vật đến lúc lò xo dãn \(3,5 cm\) lần thứ 2 là ?

Hướng dẫn giải:

Chu kì dao động:

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} = 0,314s\)

Độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng:\(\Delta l=\frac{mg}{k}=2,5cm\)
Biên độ dao động của vật:

\(A = \Delta l - 0,5 = 2cm\)

Khi lò xo dãn 3,5 cm vật ở dưới vị trí cân bằng và cách vị trí cân bằng 1 cm.
Tại t = 0, vật ở vị trí cao nhất ⇒ Quãng đường vật đi được từ lúc t = 0 đến lúc lò xo dãn 3,5cm lần thứ 2 là: \(S=2A+\frac{A}{2}=5cm\)
Thời gian từ lúc buông vật đến lúc lò xo dãn 3,5 cm lần thứ 2 là \(t=\frac{2T}{3}=0,209s\)

⇒ Tốc độ trung bình của vật:

\({v_{TB}} = \frac{S}{t} = 23,9cm/s\)

1. Con lắc lò xo

Con lắc lò xo gồm một vật nặng m gắn vào 1 đầu của lò xo có độ cứng k và khối lượng không đáng kể. Đầu còn lại của lò xo cố định.
Con lắc có 1 vị trí cân bằng mà khi ta thả vật ra vật sẽ đứng yên mãi. Nếu kéo vật khỏi vị trí cân bằng buông ra vật sẽ dao động quanh vị trí cân bằng, giữa hai vị trí biên.

2. Khảo sát dao động của con lắc lò xo về mặt động lực học

Xét vật ở li độ x, lò xo giản một đoạn \(\Delta l = x\) , lực đàn hồi \(F= -k \Delta l\)
Tổng lực tác dụng lên vật \(F =- kx\)
Theo định luật II Niu tơn: \(a = -\frac{k}{m} x\)
Đặt \(\omega^2 = \frac{k}{m}\) \(\Rightarrow a+ \omega^2 x = 0\)
Dao động của con lắc lò xo là dao động điều hòa:
- Tần số góc: \(\omega= \sqrt{\frac{k}{m}}\)
- Chu kì: \(T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)
Lực hướng về vị trí cân bằng gọi là lực kéo về. Lực kéo về có độ lớn tỉ lệ với li độ và gây gia tốc cho vật dao động điều hòa.
- Biểu thức : \(F = - kx = - m{\omega ^2}x\)
- Đặc điểm:
  - Là lực gây ra gia tốc cho vật dao động
  - Luôn hướng về VTCB và tỉ lệ với li độ dao động
  - Biến thiên điều hoà cùng tần số với li độ

3. Khảo sát dao động của lò xo về mặt năng lượng

a. Động năng của con lắc lò xo.

\(W_d = \frac{1}{2} m v^2\) (J)

b. Thế năng của con lắc lò xo.

\(W_t = \frac{1}{2} k x^2\) (J)

Chú ý : Thế năng và động năng của con lắc lò xo biến thiên điều hòa với chu kì \(\frac{T}{2}\).

c. Cơ năng của con lắc lò xo. Sự bảo toàn cơ năng.

Cơ năng của con lắc:

\(W =\frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k x^2\) (J)

Khi không có ma sát thì cơ năng của con lắc được bảo toàn. Nó chỉ biến đổi từ thế năng sang động năng và ngược lại:

\(\Rightarrow W =\frac{1}{2} k A^2 =\frac{1}{2} m\omega^2 A^2\) = Hằng số

Nhận xét:
- Động năng và thế năng biến thiên cùng tần số góc \(2\omega \), tần số \(2f\), chu kỳ \(\frac{T}{2}\)
- Thời gian liên tiếp giữa 2 lần động năng bằng thế năng là \(\frac{T}{4}\)
- Cơ năng của con lắc lò xo luôn được bảo toàn và tỉ lệ với bình phương biên độ dao động

d. Chú ý :

Đối với lò xo thẳng đứng :

Độ biến dạng của lò xo thẳng đứng khi vật ở VTCB:

\(\Delta l = \frac{{mg}}{k}\) ⇒ \(T = 2\pi \sqrt {\frac{{\Delta l}}{g}}\)

Chiều dài lò xo tại VTCB:

\({l_{CB}} = {l_0} + \Delta l\,\,({l_0}\) là chiều dài tự nhiên \()\)

Chiều dài cực tiểu (khi vật ở vị trí cao nhất): \({l_{Min}} = {l_0} + \Delta l-A\)
Chiều dài cực đại (khi vật ở vị trí thấp nhất): \({l_{Max}} = {l_0} + \Delta l + A\)

\( \Rightarrow {l_{CB}} = \frac{{{l_{Min}} + {\rm{ }}{l_{Max}}}}{2}\)

Lực đàn hồi cực đại: \({F_{Max}} = k(\Delta l + A)\) (lúc vật ở vị trí thấp nhất)
Lực đàn hồi cực tiểu
- Nếu \(A{\rm{ }} < \Delta l \Rightarrow {F_{Min}} = k(\Delta l - A)\)
- Nếu \(A{\rm{ }} \ge \Delta l \Rightarrow {F_{Min}} = 0\) (lúc vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng)

Bài 1:

Hướng dẫn giải:

Ta có thế năng:

\(W_t=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}.40.(-0,02)^2 = 0,008 (J)\)

Bài 2:

Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T=0,5s, khối lượng của quả nặng là m=400g. Lấy \(\pi^2 =10\) , Tính độ cứng của lò xo.

Hướng dẫn giải:

Theo công thức tính chu kì dao động:

\(T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)\(\Rightarrow k=\frac{4\pi^2}{T^2}m\)\(\Rightarrow k=\frac{4\pi^2m}{T^2}=64 (N/m)\)

Bài 3:

Hướng dẫn giải:

Ta có: Khi con lắc qua vị trí cân bằng (x = 0) thì thế năng bằng 0, động năng cực đại (bằng cơ năng):

\(\frac{1}{2}mv_{max}^{2}=\frac{1}{2}K.A^2\)

\( \Rightarrow {v_{max}} = A.\sqrt {\frac{k}{m}} = 0,1{\rm{ }}\sqrt {\frac{{80}}{{0,4}}} \approx 1,4m/s\)

Bài 4:

Hướng dẫn giải:

Chu kì dao động:

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} = 0,314s\)

Độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng:\(\Delta l=\frac{mg}{k}=2,5cm\)
Biên độ dao động của vật:

\(A = \Delta l - 0,5 = 2cm\)

Khi lò xo dãn 3,5 cm vật ở dưới vị trí cân bằng và cách vị trí cân bằng 1 cm.
Tại t = 0, vật ở vị trí cao nhất ⇒ Quãng đường vật đi được từ lúc t = 0 đến lúc lò xo dãn 3,5cm lần thứ 2 là: \(S=2A+\frac{A}{2}=5cm\)
Thời gian từ lúc buông vật đến lúc lò xo dãn 3,5 cm lần thứ 2 là \(t=\frac{2T}{3}=0,209s\)

⇒ Tốc độ trung bình của vật:

\({v_{TB}} = \frac{S}{t} = 23,9cm/s\)