Câu 18 trang 214 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Tính 

LG a

\(\eqalign{{(\sqrt 3 + i)^2} - {(\sqrt 3 - i)^2} \cr }\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& {(\sqrt 3 + i)^2} - {(\sqrt 3 - i)^2} \cr&= {\rm{[}}\sqrt 3 + i + \sqrt 3 - i{\rm{][}}\sqrt 3 + i - \sqrt 3 + i{\rm{]}} \cr 
& {\rm{ = 4}}\sqrt 3 i \cr} \) 

LG b

\(\eqalign{{(\sqrt 3 + i)^2} + {(\sqrt 3 - i)^2}}\)

Lời giải chi tiết:

\({(\sqrt 3  + i)^2} + {(\sqrt 3  - i)^2} \) \(= 3 + 2\sqrt 3 i -1 + 3 - 2\sqrt 3 i -1 = 4\)

LG c

\(\eqalign{{(\sqrt 3 + i)^3} - {(\sqrt 3 - i)^3}\cr }\)

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đăng thức \({A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + {B^2} + AB} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& {(\sqrt 3 + i)^3} - {(\sqrt 3 - i)^3} \cr &= [\sqrt 3 + i - \sqrt 3 + i].\cr &.[{(\sqrt 3 + i)^2} + {(\sqrt 3 - i)^2}+ \left( {\sqrt 3  + i} \right)\left( {\sqrt 3  - i} \right)] \cr 
& = 2i\left( {4 + 3 + 1} \right) = 2i(4 + 4) = 16i \cr} \)

LG d

\(\eqalign{{{{(\sqrt 3 + i)}^2}} \over {{{(\sqrt 3 - i)}^2}}} \)

Lời giải chi tiết:

\({{{{(\sqrt 3  + i)}^2}} \over {{{(\sqrt 3  - i)}^2}}} = {{2 + 2\sqrt 3 i} \over {2 - 2\sqrt 3 i}} = {{1 + \sqrt 3 i} \over {1 - \sqrt 3 i}} \) \(= \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)}^2}}}{{1 + 3}} = \frac{{1 + 2\sqrt 3 i - 3}}{4}= {{ - 1 + \sqrt 3 i} \over 2}\)