Câu 13 trang 213 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Tìm hàm số f, biết rằng \(f'(x) = 8{\sin ^2}(x + {\pi  \over {12}})\) và f(0) = 8.

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 8{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{{12}}} \right)\\
= 4\left( {1 - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right)} \right)\\
\Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \\
= 4\int {\left( {1 - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right)} \right)dx} \\
= 4\left[ {x - \frac{{\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right)}}{2}} \right] + C\\
= 4x - 2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + C\\
f\left( 0 \right) = 8\\
\Leftrightarrow 0 - 2\sin \frac{\pi }{6} + C = 8\\
\Leftrightarrow - 1 + C = 8 \Leftrightarrow C = 9\\
\Rightarrow f\left( x \right) = 4x - 2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + 9
\end{array}\)