Câu 10 trang 212 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Giải các phương trình sau:

LG a

\({81^{{{\sin }^2}x}} + {81^{{{\cos }^2}x}} = 30\)

Phương pháp giải:

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ \(t = {81^{{{\cos }^2}x}}(1 \le t \le 81)\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = {81^{{{\cos }^2}x}}(1 \le t \le 81)\)

Khi đó: \({81^{{{\sin }^2}x}} = {81^{1- {{\cos }^2}x}} = {{81} \over t}\)

Phương trình trở thành:

\(\eqalign{
& {{81} \over t} + t = 30 \Leftrightarrow {t^2} - 30t + 81 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 27 \hfill \cr 
t = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{81^{{{\cos }^2}x}} = 27\\{81^{{{\cos }^2}x}} = 3\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{{3^{4{{\cos }^2}x}} = {3^3} \hfill \cr {3^{4{{\cos }^2}x}} = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{4{\cos ^2}x = 3 \hfill \cr 4{\cos ^2}x = 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{2(1 + \cos 2x) = 3 \hfill \cr 2(1 + \cos 2x) = 1 \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{\cos 2x = {1 \over 2} \hfill \cr \cos 2x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = \pm {\pi \over 6} + k\pi \hfill \cr x = \pm {\pi \over 3} + k\pi \hfill \cr} \right. \cr} \) 

LG b

\({\log _3}(\log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5) = 2\)

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai ẩn \({\log _{\frac{1}{2}}}x\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {\log _3}(\log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5) = 2 \cr&\Leftrightarrow \log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5 = 9 \cr 
& \Leftrightarrow \log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}} - 4 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _{{1 \over 2}}}x = - 1 \hfill \cr 
{\log _{{1 \over 2}}}x = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr 
x = {1 \over {16}} \hfill \cr} \right. \cr} \) 

Vậy \(S = {\rm{\{ }}{1 \over {16}};\,2\} \)

LG c

\({4^{{{\log }x} + 1}} - {6^{{{\log }x}}} - {2.3^{\log {x^2} + 2}} = 0\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: x > 0

\(\eqalign{
& {4^{{{\log }x} + 1}} - {6^{{{\log }x}}} - {2.3^{\log {x^2} + 2}} = 0 \cr 
&  \Leftrightarrow {4.4^{\log x}} - {6^{\log x}} - {2.3^{\log {x^2}}}{.3^2} = 0\cr & \Leftrightarrow {4.4^{\log x}} - {6^{\log x}} - {18.3^{2\log x}} = 0\cr &\Leftrightarrow {4.4^{\log x}} - {6^{\log x}} - {18.9^{\log x}} = 0 \cr} \) 

Chia hai vế phương trình 4^logx ta được:

\(4 - {({3 \over 2})^{\log x}} - 18.{({9 \over 4})^{\log x}} = 0\)

Đặt \(t = {({3 \over 2})^{\log x}}\,\,(t > 0)\) ta có phương trình:

\(18{t^2} + t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {4 \over 9} \hfill \cr 
t = - {1 \over 2}\,\,(loai) \hfill \cr} \right.\)

\(\eqalign{
& t = {4 \over 9} \Leftrightarrow {({3 \over 2})^{\log x}} = {({3 \over 2})^{-2}} \cr &\Leftrightarrow \log x = - 2 \cr 
& \Leftrightarrow x = {10^{ - 2}} = {1 \over {100}} \cr} \)

LG d

\(\left\{ \matrix{
{2^x}{8^{ - y}} = 2\sqrt 2 \hfill \cr 
{\log _9}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}(9y) \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: x > 0; y > 0

\(\eqalign{
& {2^x}{8^{ - y}} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow {2^{x - 3y}} = {2^{{3 \over 2}}} \cr &\Leftrightarrow x - 3y = {3 \over 2}\,\,\,\,\,(1) \cr 
& {\log _9}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}(9y) \cr&\Leftrightarrow {1 \over 2}{\log _3}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}(9y) \cr 
& \Leftrightarrow {\log _3}\frac{1}{x} + 1 = {\log _3}9y\cr &\Leftrightarrow {\log _3}{3 \over x} = {\log _3}(9y) \Leftrightarrow {3 \over x} = 9y \cr &\Leftrightarrow xy = {1 \over 3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr} \)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{
x - 3y = {3 \over 2} \hfill \cr 
xy = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {3 \over 2} + 3y \hfill \cr 
({3 \over 2} + 3y)y = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {3 \over 2} + 3y \hfill \cr 
3{y^2} + {3 \over 2}y - {1 \over 3} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr 
y = {1 \over 6},y=-{2 \over 3}(loai) \hfill \cr} \right.\) 

Vậy \(S = {\rm{\{ }}(2,\,{1 \over 6}){\rm{\} }}\)