Bài 37 trang 93 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Hãy biểu diễn các lôgarit sau qua \(\alpha \) và \(\beta \):

a) \({\log _{\sqrt 3 }}50\), nếu \({\log _3}15 = \alpha ,{\log _3}10 = \beta \);

b) \({\log _4}1250 = \alpha \), nếu \({\log _2}5 = \alpha \).

LG a

\({\log _{\sqrt 3 }}50\), nếu \({\log _3}15 = \alpha ,{\log _3}10 = \beta \);

Phương pháp giải:

Áp dụng \({\log _{{a^\alpha }}}b = {1 \over \alpha }{\log _a}b\) \(\left( {a,b > 0,a \ne 1} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\({\log _{\sqrt 3 }}50 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}50 = 2{\log _3}50 \)

\( = 2{\log _3}\left( {10.5} \right)= 2{\log _3}10 + 2{\log _3}5\)

\( = 2{\log _3}10 + 2{\log _3}{{15} \over 3} \)

\(= 2{\log _3}10 + 2\left( {{{\log }_3}15 - 1} \right)\)

\( = 2\beta  + 2\left( {\alpha  - 1} \right) = 2\alpha  + 2\beta  - 2\)

Cách trình bày khác:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\log _3}15 = \alpha \Leftrightarrow {\log _3}\left( {3.5} \right) = \alpha \\
\Leftrightarrow {\log _3}3 + {\log _3}5 = \alpha \\
\Leftrightarrow 1 + {\log _3}5 = \alpha \\
\Leftrightarrow {\log _3}5 = \alpha - 1
\end{array}\)

Do đó,

\({\log _{\sqrt 3 }}50 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}50 = 2{\log _3}50 \)

\( = 2{\log _3}\left( {10.5} \right)= 2{\log _3}10 + 2{\log _3}5\)

\( = 2\beta  + 2\left( {\alpha  - 1} \right) = 2\alpha  + 2\beta  - 2\)

LG b

\({\log _4}1250 = \alpha \), nếu \({\log _2}5 = \alpha \).

Lời giải chi tiết:

\({\log _4}1250 = {\log _{{2^2}}}1250 = \frac{1}{2}{\log _2}1250 \)

\(= {1 \over 2}{\log _2}\left( {{5^4}.2} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}{5^4} + {{\log }_2}2} \right)\) \( = \frac{1}{2}\left( {4{{\log }_2}5 + 1} \right)\)

\(= 2{\log _2}5 + {1 \over 2} = 2\alpha  + {1 \over 2}.\)