Bài 35 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao

Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi mỗi trường hợp sau:

LG a

\(\left| z \right| = 3\) và một acgumen của iz là \({{5\pi } \over 4};\)

Phương pháp giải:

Giả sử z=r(cos\(\varphi \)+i sin\(\varphi \)), tìm acgumen của số phức iz, từ đó tìm \(\varphi \)

Lời giải chi tiết:

Giả sử z=r(cos\(\varphi \)+i sin\(\varphi \))

Vì |z| = 3 => r = 3

Ta có:

\(\begin{array}{l}i = \cos \dfrac{\pi }{2} + i\sin \dfrac{\pi }{2}\\ \Rightarrow iz = 3\left[ {\cos \left( {\varphi  + \dfrac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( {\varphi  + \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right]\end{array}\)

Mà acgumen của \(iz\) bằng \(\dfrac{{5\pi }}{4}\) nên \(\varphi  + \dfrac{\pi }{2} = \dfrac{{5\pi }}{4} \Leftrightarrow \varphi  = \dfrac{{3\pi }}{4}\)

Vậy \(z = 3\left( {\cos \dfrac{{3\pi }}{4} + i\sin \dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\).

Các căn bậc hai của z là \(\sqrt 3 \left( {\cos {{3\pi } \over 8} + i\sin {{3\pi } \over 8}} \right)\) và \(-\sqrt 3 \left( {\cos {{3\pi } \over 8} + i\sin {{3\pi } \over 8}} \right)\) hay \(\sqrt 3 \left( {\cos {{11\pi } \over 8} + i\sin {{11\pi } \over 8}} \right)\).

LG b

\(\left| z \right| = {1 \over 3}\) và một acgumen của \({{\overline z } \over {1 + i}}\) là \( - {{3\pi } \over 4}.\)

Phương pháp giải:

Giả sử z=r(cos\(\varphi \)+i sin\(\varphi \)), tìm acgumen của số phức \( \dfrac{{\overline z }}{{1 + i}}\), từ đó tìm \(\varphi \)

Lời giải chi tiết:

\(1 + i = \sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \) \(= \sqrt 2 \left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right)\)

Giả sử \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\)

\(\left| z \right| = \dfrac{1}{3} \Rightarrow r = \dfrac{1}{3}\)

\(\overline z  = r\left( {\cos \varphi  - i\sin \varphi } \right)\) \( = \dfrac{1}{3}\left( {\cos \varphi  - i\sin \varphi } \right)\) \( = \dfrac{1}{3}\left[ {\cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right)} \right]\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\overline z }}{{1 + i}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}\left[ {\cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right)} \right]}}{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos \dfrac{\pi }{4} + i\sin \dfrac{\pi }{4}} \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\left[ {\cos \left( { - \varphi  - \dfrac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { - \varphi  - \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right]\end{array}\)

Mà acgumen của \(\dfrac{{\overline z }}{{1 + i}}\) bằng \( - \dfrac{{3\pi }}{4}\) nên \( - \varphi  - \dfrac{\pi }{4} =  - \dfrac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow \varphi  = \dfrac{\pi }{2}\)

\( \Rightarrow z = \dfrac{1}{3}\left( {\cos \dfrac{\pi }{2} + i\sin \dfrac{\pi }{2}} \right)\)

Dạng lượng giác của căn bậc hai của z là:

\({1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right)\) và \( - {1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right) \) hay \({1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {{5\pi } \over 4} + i\sin {{5\pi } \over 4}} \right)\)