Bài 31 trang 206 SGK giải tích 12 nâng cao

Cho các số phức \({\rm{w}}= {{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 + i} \right)\) và \(\varepsilon  = {1 \over 2}\left( { - 1 + i\sqrt 3 } \right)\)

LG a

Chứng minh rằng \({z_o} = \cos {\pi  \over {12}} + i\sin {\pi  \over {12}},\,{z_1} = {z_o}\varepsilon ,\) \({z_2} = {z_o}{\varepsilon ^2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^3} - {\rm{w}} = 0;\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(w = \cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}\)

\(\eqalign{  & \varepsilon  = \cos {{2\pi } \over 3} + i\sin {{2\pi } \over 3}\cr & \Rightarrow {\varepsilon ^3} = \cos 2\pi  + i\sin 2\pi  = 1  \cr  & z_o^3 = {\left( {\cos {\pi  \over {12}} + i\sin {\pi  \over {12}}} \right)^3} \cr &= \cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4} ={\rm{w}}  \cr  & z_1^3 = {\left( {{z_o}\varepsilon } \right)^3} = z_o^3.{\varepsilon ^3} = {\rm{w}} \,\,\left( {\text{vì}\,\,\,{\varepsilon ^3} = 1} \right),  \cr  & z_2^3 = {\left( {z_o{\varepsilon ^2}} \right)^3} = z_o^3{\varepsilon ^6} = z_o^3 ={\rm{w}}\cr} \)

Do đó các số phức \({z_0},{z_0}\varepsilon ,{z_0}{\varepsilon ^2}\) đều là nghiệm của phương trình \(z^3-w=0\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}{z_0} = \cos \dfrac{\pi }{{12}} + i\sin \dfrac{\pi }{{12}}\\ \Rightarrow z_0^3 = \cos \dfrac{{3\pi }}{{12}} + i\sin \dfrac{{3\pi }}{{12}}\\ = \cos \dfrac{\pi }{4} + i\sin \dfrac{\pi }{4}\\ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + i.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {1 + i} \right) = w\\ \Rightarrow z_0^3 = w \Rightarrow z_0^3 - w = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow {z_0} = \cos \dfrac{\pi }{{12}} + i\sin \dfrac{\pi }{{12}}\) là nghiệm của phương trình \({z^3} - w = 0\).

\(\begin{array}{l}\varepsilon  = \dfrac{1}{2}\left( { - 1 + i\sqrt 3 } \right) =  - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\\ = \cos \dfrac{{2\pi }}{3} + i\sin \dfrac{{2\pi }}{3}\\{z_0} = \cos \dfrac{\pi }{{12}} + i\sin \dfrac{\pi }{{12}}\\ \Rightarrow {z_1} = {z_0}\varepsilon \\ = \cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + \dfrac{\pi }{{12}}} \right) + i\sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + \dfrac{\pi }{{12}}} \right)\\ = \cos \dfrac{{3\pi }}{4} + i\sin \dfrac{{3\pi }}{4}\\ \Rightarrow z_1^3 = \cos \dfrac{{9\pi }}{4} + i\sin \dfrac{{9\pi }}{4}\\ = \cos \dfrac{\pi }{4} + i\sin \dfrac{\pi }{4}\\ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + i.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = w\\ \Rightarrow z_1^3 - w = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow {z_1} = {z_0}\varepsilon \) là một nghiệm của phương trình \({z^3} - w = 0\).

\(\begin{array}{l}\varepsilon  = \cos \dfrac{{2\pi }}{3} + i\sin \dfrac{{2\pi }}{3}\\ \Rightarrow {\varepsilon ^2} = \cos \dfrac{{4\pi }}{3} + i\sin \dfrac{{4\pi }}{3}\\ \Rightarrow {z_2} = {z_0}{\varepsilon ^2}\\ = \cos \left( {\dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{4\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{4\pi }}{3}} \right)\\ = \cos \dfrac{{17\pi }}{{12}} + i\sin \dfrac{{17\pi }}{{12}}\\ \Rightarrow z_2^3 = \cos \dfrac{{17\pi }}{4} + i\sin \dfrac{{17\pi }}{4}\\ = \cos \dfrac{\pi }{4} + i\sin \dfrac{\pi }{4}\\ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + i.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = w\\ \Rightarrow z_2^3 - w = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow {z_2} = {z_0}{\varepsilon ^2}\) là một nghiệm của phương trình \({z^3} - w = 0\).

LG b

Biểu diễn hình học các số phức \({z_o},\,{z_1},\,{z_2}\)

Lời giải chi tiết:

Biểu diễn: Các điểm A, B, C lần lượt biểu diễn \({z_0},\,\,{z_1},\,\,{z_2}\)

\(\begin{array}{l}
{z_0} = \cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}\\
{z_1} = \cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}\\
{z_2} = \cos \frac{{17\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{17\pi }}{{12}}
\end{array}\)

Nhận xét: A,B,C tạo thành một tam giác đều.