Bài 27 trang 205 SGK giải tích 12 nâng cao

Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: \(\overline z \,;\, - z;\,{1 \over {\overline z }};\,kz\,\left( {k \in \mathbb R^*} \right)\) trong mỗi trường hợp sau:

LG a

\(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin\varphi } \right)\,\left( {r > 0} \right);\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  &\overline z  = r\left( {\cos \varphi  - i\sin \varphi } \right) \cr &= r\left( {\cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right)} \right)  \cr  &  - z =  - r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right) \cr &= r\left( {\cos \left( {\pi  + \varphi } \right) + i\sin \left( {\pi  + \varphi } \right)} \right)  \cr  & {1 \over z} = {z \over {\overline z .z}} = {1 \over r}\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)  \cr  & kz = kr\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\,\,\text{nếu}\,k > 0  \cr  & kz =  - kr\left( {\cos \left( {\pi  + \varphi } \right) + i\sin \left( {\pi  + \varphi } \right)} \right)\,\,\text{nếu}\,\,k < 0 \cr} \)

(Vì kz là một số phức có modun là |kz| = |k|. |z| = |k|.r, có acgumen là φ nếu K > 0, là φ+π nếu k < 0)

LG b

\(z = 1 + \sqrt 3 i.\)

Lời giải chi tiết:

\(z = 1 + \sqrt 3 i = 2\left( {{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) \) \(= 2\left( {\cos {\pi  \over 3} + i\sin {\pi  \over 3}} \right)\)

Áp dụng câu a) ta có: \(\overline z  = 2\left( {\cos \left( { - {\pi  \over 3}} \right) + i\sin \left( { - {\pi  \over 3}} \right)} \right)\)

\( - z = 2\left( {\cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}} \right);\) \({1 \over {\overline z }} = {1 \over 2}\left( {\cos {\pi  \over 3} + i\sin {\pi  \over 3}} \right)\)

\(\eqalign{  & kz = 2k\left( {\cos {\pi  \over 3} + i\sin {\pi  \over 3}} \right)\,\,\text{nếu}\,\,k > 0  \cr  & kz =  - 2k\left( {\cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}} \right)\,\text{nếu}\,\,k < 0 \cr} \)

Chú ý:

Khi yêu cầu bài toán là tìm dạng lượng giác thì các em cần đưa đúng về dạng \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\).

Các cách viết như sau đều không phải dạng lượng giác của số phức:

+) \(z = r\left( {\cos \varphi  - i\sin \varphi } \right)\)

+) \(z = -r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\)

...

 Logiaihay.com