Phương pháp giải một số dạng bài tập về con lắc đơn

Dạng 1: Viết phương trình dao động của con lắc đơn

Phương trình dao động của con lắc đơn có dạng:

\(S = {S_0}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\) hoặc \(\alpha  = {\alpha _0}\cos \left( {\omega t + \Phi } \right)\)

- Tìm t:

t = 0 ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {S_0}\cos \varphi  = \\v =  - A\omega \sin \varphi \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi  = \frac{s}{A}\\\sin \varphi  =  - \frac{v}{{A\omega }}\end{array} \right.\)(lưu ý: \(v.\varphi  < 0\))

Chú ý: t = 0 vật đi theo chiều (+) thì \(\varphi  < 0\), vật đi theo chiều âm thì \(\varphi  > 0\)

- Tìm \(\omega \):

\(\omega  = \sqrt {\frac{g}{l}}  = \frac{v}{{\sqrt {S_0^2 - {S^2}} }} = 2\pi f = \frac{{2\pi }}{T}\)

- Tìm \({S_0}\):

\({S_0} = \sqrt {{S^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}} \)

Bài tập ví dụ: Một con lắc đơn có chiều dài l = 16 cm. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc 9⁰ rồi thả nhẹ. Bỏ qua mọi ma sát, lấy g = 10 m/s². Chọn gốc thời gian là lúc thả vật, chiều dương cùng chiều với chiều chuyển động ban đầu của vật. Viết phương trình dao động theo li độ góc tính ra rad.

Hướng dẫn giải

Ta có: phương trình dao động theo li độ góc của con lắc đơn có dạng:

\(\alpha  = {\alpha _0}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\)

Kéo con lắc lệch khỏi VTCB một góc 9⁰ rồi thả nhẹ => \({\alpha _0} = {9^0} = \frac{\pi }{{20}} = 0,157ra{\rm{d}}\)

\(\omega  = \sqrt {\frac{g}{l}}  = 2,5\pi ra{\rm{d}}/s\)

Tại thời điểm t = 0 ta có:

\(\alpha  = {\alpha _0}\cos \varphi  \Rightarrow \cos \varphi  = \frac{\alpha }{{{\alpha _0}}} = \frac{{ - {\alpha _0}}}{{{\alpha _0}}} =  - 1 \Rightarrow \varphi  = \pi \)

Vậy \(\alpha  = 0,157\cos \left( {2,5\pi  + \pi } \right)\left( {ra{\rm{d}}} \right)\)

Dạng 2: Chu kì con lắc đơn thay đổi theo chiều dài

Chu kì con lắc đơn ban đầu khi chưa có sự thay đổi là:

\({T_1} = \frac{1}{f} = 2\pi \sqrt {\frac{{{l_1}}}{g}}  = \frac{{\Delta t}}{{{N_1}}}\)

Chu kì của con lắc đơn sau khi có sự thay đổi là:

\({T_2} = \frac{1}{f} = 2\pi \sqrt {\frac{{{l_2}}}{g}}  = \frac{{\Delta t}}{{{N_2}}}\)

=> \(\frac{{{T_1}}}{{{T_2}}} = \sqrt {\frac{{{l_1}}}{{{l_2}}}}  = \frac{{{N_2}}}{{{N_1}}}\)

Trong đó N là số dao động toàn phần vật thực hiện được trong thời gian \(\Delta t\)

*Bài toán con lắc vướng đinh:

+ Chu kì con lắc trước khi vướng đinh là: \({T_1} = 2\pi \sqrt {\frac{{{l_1}}}{g}} \)

+ Chu kì của con lắc sau khi vướng đinh là: \({T_2} = 2\pi \sqrt {\frac{{{l_2}}}{g}} \)

=> Chu kì của con lắc là: \(T = \frac{1}{2}\left( {{T_1} + {T_2}} \right)\)

Bài tập ví dụ:

Một con lắc đơn có chiều dài l. Trong khoảng thời gian \(\Delta t\) nó thực hiện 12 dao động. Khi giảm độ dài của nó bớt 16 cm, trong cùng khoảng thời gian \(\Delta t\) như trên, con lắc thực hiện 20 dao động. Tính độ dài ban đầu của con lắc.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\frac{{{T_1}}}{{{T_2}}} = \sqrt {\frac{{{l_1}}}{{{l_2}}}}  = \frac{{{N_2}}}{{{N_1}}} \Leftrightarrow \sqrt {\frac{l}{{l - 0,16}}}  = \frac{{20}}{{12}} \Leftrightarrow l = 0,25m\)

Dạng 3: Con lắc trùng phùng

Hai con lắc gọi là trùng phùng khi chúng đồng thời đi qua một vị trí xác định theo cùng một chiều.

Gọi thời gian giữa hai lần trùng phùng liên tiếp là \(\Delta t\).

Ta có: \(\Delta t = {N_1}{T_1} = {N_2}{T_2}\)

(với N₁,N₂ lần lượt là số dao động con lắc 1 và 2thực hiện trong thời gian \(\Delta t\))

Lập tỉ số: \(\frac{{{T_1}}}{{{T_2}}} = \frac{{{N_2}}}{{{N_1}}} = \frac{a}{b}\)= phân số tối giản => \(\left\{ \begin{array}{l}{N_1} = nb\\{N_2} = na\end{array} \right.\left( {n \in N*} \right)\)

Thời gian trùng phùng lần đầu tiên ứng với n = 1. Lúc đó, con lắc 1 thực hiện được b dao động thì con lắc 2 thực hiện được a dao động nên thời gian trùng phùng là:

\(\Delta {t_{\min }} = {N_1}{T_1} = b{T_1}\) đối với con lắc 1

\(\Delta {t_{\min }} = ({N_1} + 1){T_2}\) đối với con lắc 2

Bài tập ví dụ:

Hai con lắc dao động điều hòa với chu kì lần lượt là \({T_1} = 2{\rm{s}};{T_2} = 1,5{\rm{s}}\). Giả sửtại thời điểm t hai con lăc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều thì sau đó bao lâu cả hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều như trên.

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian của hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều là \(\Delta t\) (còn gọi là khoảng thời gian giữa hai lần trùng phùng liên tiếp).

Ta có: \(\Delta t = {N_1}{T_1} = {N_2}{T_2}\)

Theo bài ra ta có: \(\frac{{{T_1}}}{{{T_2}}} = \frac{{{N_2}}}{{{N_1}}} = \frac{2}{{1,5}} = \frac{4}{3}\)= phân số tối giản =>\(\left\{ \begin{array}{l}{N_1} = 3n\\{N_2} = 4n\end{array} \right.\left( {n \in N*} \right)\)

Thời gian trùng phùng lần đầu tiên ứng với n = 1. Lúc đó con lắc 1 thực hiện được 3 dao động thì con lắc 2 thực hiện được 4 dao động nên thời gian trùng phùng là:

\(\Delta t = 3{T_1} = 3.2 = 6s\) đối với con lắc 1 hoặc có thể là \(\Delta t = 4{T_2} = 4.1,5 = 6s\) đối với con lắc 2.

Dạng 4: Năng lượng dao động, vận tốc, lực căng dây của con lắc đơn

- Thế năng: \[{{\rm{W}}_t} = mgh = mgl(1 - \cos \alpha )\]

- Động năng: \[{{\rm{W}}_d} = \frac{1}{2}m{v^2} = mgl\left( {\cos \alpha  - \cos {\alpha _0}} \right)\]

- Cơ năng: \[{\rm{W}} = {{\rm{W}}_t} + {{\rm{W}}_d} = mgl\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)\]

- Vận tốc: \(\left\{ \begin{array}{l}v = \sqrt {2gl.\left( {\cos \alpha  - \cos {\alpha _0}} \right)} \\{v_{\max }} = \sqrt {2gl.\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)} \end{array} \right.\)

- Lực căng dây: \(T = mg\left( {3\cos \alpha  - 2\cos {\alpha _0}} \right)\)

+ \({T_{\max }} = mg\left( {3 - 2\cos {\alpha _0}} \right)\) (khi vật qua vị tri cân bằng)

+ \({T_{\min }} = mg.\cos {\alpha _0}\) (khi vật ở vị trí biên)

*Lưu ý:

Nếu \({\alpha _0} \le {10^0}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}mgl{\alpha ^2}\\{{\rm{W}}_d} = \frac{1}{2}mgl\left( {\alpha _0^2 - {\alpha ^2}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{W}} = \frac{1}{2}mgl\alpha _0^2\)

(Với \(\alpha ,{\alpha _0}\) tính ra rad).