Giải mục 2 trang 48, 49 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Tính tích của hai phân thức

Hoạt động 2

Tính tích của hai phân thức \(\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\) và \(\frac{{x - 1}}{{{x^2}}}\).

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp nhân hai phân thức.

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau và các mẫu thức với nhau.

Lời giải chi tiết:

\(\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}.\frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2}\left( {x - 1} \right)}}{{{x^2}\left( {x - 1} \right)}} = 1\)

Luyện tập 3

Tìm phân thức nghịch đảo của mỗi phân thức sau: \(\frac{{{x^2} - x + 1}}{{4x - 5}};\frac{1}{{x - y}};\frac{{ - 3a}}{{{b^2}}};7m - 3\)

Phương pháp giải:

Hai phân thức được gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1.

Lời giải chi tiết:

Phân thức nghịch đảo của \(\frac{{{x^2} - x + 1}}{{4x - 5}}\) là: \(\frac{{4x - 5}}{{{x^2} - x + 1}}\)

Phân thức nghịch đảo của \(\frac{1}{{x - y}}\) là: \(x - y\)

Phân thức nghịch đảo của \(\frac{{ - 3a}}{{{b^2}}}\) là: \(\frac{{{b^2}}}{{ - 3a}}\)

Phân thức nghịch đảo của \(7m - 3\) là: \(\frac{1}{{7m - 3}}\)

Hoạt động 3

Cho hai phân thức \(\frac{{3{x^3}}}{{4{y^2}}}\) và \(\frac{{6{x^2}}}{{8y}}\).

a) Tìm phân thức nghịch đảo của phân thức \(\frac{{6{x^2}}}{{8y}}\).

b) Nhân phân thức \(\frac{{3{x^3}}}{{4{y^2}}}\) với phân thức tìm được ở câu a.

Phương pháp giải:

Hai phân thức được gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của nó bằng 1.

Sau đó nhân phân thức \(\frac{{3{x^3}}}{{4{y^2}}}\) với phân thức tìm được ở câu a.

Lời giải chi tiết:

a) Phân thức nghịch đảo của phân thức \(\frac{{6{x^2}}}{{8y}}\) là: \(\frac{{8y}}{{6{x^2}}}\)

b) \(\frac{{3{x^3}}}{{4{y^2}}}.\frac{{8y}}{{6{x^2}}} = \frac{{3{x^3}.8y}}{{4{y^2}.6{x^2}}} = \frac{{2x}}{{2y}} = \frac{x}{y}\).

Luyện tập 4

Tìm biểu thức \(T\) biết: \(\frac{{{x^2} - 3x}}{{x + 2}}.T = \frac{{{x^2} - 9}}{{2{x^2} + 4x}}\).

Phương pháp giải:

Để tìm được biểu thức \(T\). Ta thực hiện phép chia phân thức \(\frac{{{x^2} - 9}}{{2{x^2} + 4x}}\) cho phân thức \(\frac{{{x^2} - 3x}}{{x + 2}}\)

Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\) khác 0, ta nhân \(\frac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\frac{C}{D}\):

\(\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B}.\frac{D}{C}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 3x}}{{x + 2}}.T = \frac{{{x^2} - 9}}{{2{x^2} + 4x}}\\ = > T = \frac{{{x^2} - 9}}{{2{x^2} + 4x}}:\frac{{{x^2} - 3x}}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} - 9}}{{2{x^2} + 4x}}.\frac{{x + 2}}{{{x^2} - 3x}} = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right).\left( {x + 2} \right)}}{{2x\left( {x + 2} \right).x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{x + 3}}{{2{x^2}}}\end{array}\)

Vận dụng 2

Trong năm 2019, một tiệm bánh mì bán một loại bánh mì với giá \(x\) nghìn đồng một chiếc. Trong năm 2021, giá một chiếc bánh đó tăng thêm 5 nghìn đồng so với năm 2019. Một người đã dùng 900 000 đồng để mua loại bánh mì đó trong mỗi năm 2019 và 2021.

a) Viết hai phân thức lần lượt biểu diễn số bánh mì người này mua được vào năm 2019 và 2021.

b) Chứng minh rằng số bánh mì người này mua được vào năm 2019 gấp \(\frac{{x + 5}}{x}\) lần so với năm 2021.

c) Nếu \(x = 10\) thì số bánh mì người này mua được vào năm 2019 gấp bao nhiêu lần so với năm 2021.

Phương pháp giải:

Viết hai phân thức biểu diễn số bánh mì người này mua được vào năm 2019 và năm 2021.

Sau đó áp dụng phương pháp chia hai phân thức để chứng minh số bánh mì người này mua được vào năm 2019 gấp \(\frac{{x + 5}}{x}\) lần so với năm 2021.

Thay các giá trị \(x = 10\) vào biểu thức để tính số bánh mì người này mua được vào năm 2019 gấp bao nhiêu lần so với năm 2021.

Lời giải chi tiết:

a) Số bánh mì người này mua được trong năm 2019 là: \(\frac{{900000}}{x}\) (chiếc)

Số bánh mì người này mua được trong năm 2021 là: \(\frac{{900000}}{{x + 5}}\) (chiếc)

b) Số bánh mì người này mua được trong năm 2019 gấp năm 2021 là:

\(\frac{{900000}}{x}:\frac{{900000}}{{x + 5}} = \frac{{900000}}{x}.\frac{{x + 5}}{{900000}} = \frac{{x + 5}}{x}\)