Giải mục 1 trang 77,78,79 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

Câu hỏi

Mỗi tam giác có mấy đường trung trực

Phương pháp giải:

Đường trung trực của đoạn thẳng là đường vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Mỗi tam giác có 3 đường trung trực.

HĐ 1

Vẽ tam giác ABC ( không tù) và ba đường trung trực của các đoạn BC, CA, AB. Quan sát hình và cho biết ba đường trung trực đó có cùng đi qua một điểm hay không?

Phương pháp giải:

Đường trung trực của đoạn thẳng là đường vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Ba đường trung trực DP, DQ, DR cùng cắt nhau tại điểm D.

HĐ 2

Dùng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy lập luận để suy ra tính chất nói ở HĐ1 bằng cách trả lời các câu hỏi sau:

Cho O là giao điểm các đường trung trực của hai cạnh BC và CA (H.9.38)

a) Tại sao OB = OC, OC = OA.

b) Điểm O có nằm trên đường trung trực của AB không?

Phương pháp giải:

Gọi M là trung điểm BC, N là trung điểm AC

a) Chứng minh \(\Delta OBM = \Delta OCM\)(c – g – c), \(\Delta OAN = \Delta OCN\)(c – g – c)

b) Điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đấy.

Lời giải chi tiết:

a)

Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm AC.

Xét \(\Delta OBM\) và \(\Delta OCM\) có:

BM = CM (gt)                                                                                           

\(\widehat {OMB} = \widehat {OMC} = {90^0}\)

OM chung

\( \Rightarrow \Delta OBM = \Delta OCM\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow OB = OC\)(cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự: \(\Delta OAN = \Delta OCN\) (c – g – c) \( \Rightarrow OA = OC\) (cạnh tương ứng)

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA = OC\\OB = OC\end{array} \right.\left( {cmt} \right) \Rightarrow OA = OB\)

\( \Rightarrow O\) cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng AB

\( \Rightarrow O\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Luyện tập 1

Chứng minh rằng trong tam giác đều ABC, trọng tâm G cách đều 3 đỉnh của tam giác đó.

Phương pháp giải:

Áp dụng: Trong tam giác cân ABC cân tại A, đường trung tuyến BN cũng là đường trung trực của AC

Từ đó chứng minh G là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC đều nên AB = BC = CA

Tam giác ABC cân tại B có BN là đường trung tuyến

\( \Rightarrow BN\)là đường trung trực của đoạn thẳng AC

Tam giác BAC cân tại A có AP là đường trung tuyến

\( \Rightarrow AP\)là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Mà \(BN \cap AP = G\)

\( \Rightarrow G\)là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC

\( \Rightarrow GA = GB = GC\).

Vận dụng 1

Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Phương pháp giải:

Địa điểm khoan giếng cách đều 3 ngôi nhà

Lời giải chi tiết:

3 ngôi nhà không thẳng hàng nên tạo thành 1 tam giác, ta gọi là tam giác ABC.

Điểm khoan giếng cách đều 3 ngôi nhà khi và chỉ khi điểm khoan giếng là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC.

Vậy, ta cần vẽ 2 đường trung trực của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại đâu thì đó là điểm cần khoan giếng.

TTN

Sử dụng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy giải thích nếu điểm Q cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC thì Q phải là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Điểm cách đều 2 mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng.

Lời giải chi tiết:

Vì Q cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC nên GA=GB=GC

Vì QA=QB nên Q nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

Vì QA=QC nên Q nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

Vì QB=QC nên Q nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

Vậy Q là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC.