Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2019 - 2020 trường THPT Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc

Câu 1.  Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\)  , cho \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right);\) \(C\left( {0;0;c} \right),\left( {abc \ne 0} \right)\). Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)   là:

A.\(\frac{x}{c} + \frac{y}{b} + \frac{z}{a} = 1\)

B. \(\frac{x}{b} + \frac{y}{a} + \frac{z}{c} = 1\)

C. \(\frac{x}{a} + \frac{y}{c} + \frac{z}{b} = 1\)

D. \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

Câu 2.  Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((\alpha ):\,\,x\,\, + \,\,2y\,\, + 3z - \,\,2020\,\, = \,\,0;\) đường thẳng \(d:\,\,\frac{{x\,\, - \,\,1}}{1}\,\, = \,\,\frac{{1 - \,\,y}}{2}\,\, = \,\,\frac{{z\,\, + \,\,3}}{3}\). Góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((\alpha )\) là:

A.  \(60^\circ .\)             B.  \(45^\circ .\)

C.  \(30^\circ .\)             D.  \(90^\circ .\)

Câu 3.  Phương trình \({z^2} + az + b = 0\) có một nghiệm phức là \(z = 1 + 2i\). Tổng 2 số \(a\)và \(b\) bằng:

A.  \( - 3\)                      B.  3

C.  \( - 4\)                      D.  \(0\)

Câu 4.  Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + mx + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?

A.  \(m \le 0\).                B.  \(m \le 12\).

C.  \(m \ge 0\).               D.  \(m \ge 12\).

Câu 5.  Cho vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {1;3;4} \right)\), tìm vectơ \(\overrightarrow b \) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow a \)

A.  \(\overrightarrow b  = \left( { - 2;6;8} \right).\)

B.  \(\overrightarrow b  = \left( {2; - 6; - 8} \right).\)

C.  \(\overrightarrow b  = \left( { - 2; - 6; - 8} \right).\)

D.  \(\overrightarrow b  = \left( { - 2; - 6;8} \right).\)

Câu 6.  Tính diện tích hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2} - x\)

A.  \(\frac{1}{{12}}\)    B.  \(\frac{1}{8}\)

C.  \(\frac{1}{4}\)         D.  \(\frac{1}{{16}}\)

Câu 7.  Cho các điểm \(I\left( {1;1; - 2} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 3 + 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.\). Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\)có tâm \(I\) và cắt đường thẳng \(d\) tại hai điểm \(A,B\) sao cho tam giác \(IAB\) vuông là:

A.  \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9.\)

B.  \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 36.\)

C.  \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 3.\)

D.  \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9.\)

Câu 8.  Cho số phức \(z\) thỏa \(z = 2i - 2\). Môđun của số phức \({z^{2016}}\) là:

A.  \({2^{3024}}\).        B.  \({2^{4032}}\).

C.  \({2^{6048}}\)         D.  \({2^{2016}}\).

Câu 9. Giả sử hàm số \(f(x)\) xác định và liên tục trên đoạn \([0;1]\) thỏa mãn \(f'(x) = f'(1 - x),\forall x \in \left[ {0;1} \right]\). Biết \(f(0) = 1;f(1) = 41\), giá trị của tích phân \(\int\limits_0^1 {f(x)dx} \) là

A.  \(42\).                      B.  \(\sqrt {41} \).

C.  \(21\).                      D.  \(40\).

Câu 10.  Cho một mặt cầu có diện tích là \(S\), thể tích khối cầu đó là \(V\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu.

A.  \(R = \frac{{4V}}{S}\).           B.  \(R = \frac{V}{{3S}}\)

C.  \(R = \frac{{3V}}{S}\).           D.  \(R = \frac{S}{{3V}}\)

Câu 11.  Giả sử hàm số \(f\) liên tục trên đoạn \([0;2]\) thỏa mãn \(\int\limits_0^2 {f(x)dx}  = 6\). Giá trị của tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {2\sin x} \right)\cos xdx} \) là

A.  \( - 3\).                     B.  \(3\).

C.  \( - 6\).                     D.  \(6\).

 

Câu 12.  Gọi \(A\) là điểm biểu diễn số phức \(z\), \(B\) là điểm biểu diễn số phức \(-z \). Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai ?

A.  A và B đối xứng nhau qua trục hoành.

B.  A và B trùng gốc tọa độ khi \(z=0\).

C.  A và B đối xứng qua gốc tọa độ.

D.  Đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ.

Câu 13.  Cho hàm số \(\left( C \right)\;:\;y = {x^3} + 3{x^2}\). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {1;4} \right)\) là

A.  \(y = 9x + 5.\)

B.  \(y =  - 9x - 5.\)

C.  \(y = 9x - 5.\)

D.  \(y =  - 9x + 5.\)

Câu 14.  Thể tích khối tam diện vuông \(O.ABC\) vuông tại \(O\) có \(OA = a,{\rm{ }}OB = OC = 2a\) là

A.  \(2{a^3}\).               B.  \(\frac{{{a^3}}}{2} \cdot \)

C.  \(\frac{{{a^3}}}{6} \cdot \)                       D.  \(\frac{{2{a^3}}}{3}\)

Câu 15.  Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( { - 2;2;5} \right),\,\overrightarrow b  = \left( {0;1;2} \right)\) trong không gian bằng

A.  \(12\).                      B.  \(14\).

C.  \(10\).                      D.  \(13\).

Câu 16.  Tập xác định của \(f\left( x \right) = \sqrt {{{\log }_2}\left( {3x + 4} \right)} \) là?

A.  \(D = \left[ { - 1; + \infty } \right)\)

B.  \(D = \left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)\)

C.  \(D = \left( { - 1; + \infty } \right)\)

D.  \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\)

Câu 17.  Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4\) trên đoạn \(\left[ { - 4;0} \right]\) lần lượt là M và m. Giá trị của tổng \(M + m\) bằng bao nhiêu?

A.  \(M + m = \frac{4}{3}\).

B.  \(M + m =  - \frac{{28}}{3}\).

C.  \(M + m =  - 4\).

D.  \(M + m =  - \frac{4}{3}\).

Câu 18.  Phần thực của \(z = \left( {2 + 3i} \right)i\) là

A.  \(3\)                         B.  \( - 2\).

C.  \( - 3\).                     D.  \(2\)

Câu 19.  Trong mặt phẳng phức \(Oxy\), các số phức \(z\) thỏa \(\left| {z - 5i} \right| \le 3\). Nếu số phức \(z\) có môđun nhỏ nhất thì phần ảo bằng bao nhiêu ?

A.  \(2\).                        B.  \(4\).

C.  \(0\).                        D.  \(3\)

Câu 20.  Một ô tô đang chạy với vận tốc 12m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v(t) =  - 6t + 12\,\,(m/s)\), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét ?

A.  \(6m\)                      B.  \(0,4\,\,m\)

C.  \(24\,\,m\)                D.  \(12\,m\)

Câu 21.  Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)đi qua điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) và cắt các trục \(Ox,Oy,Oz\)lần lượt tại \(A\),\(B\),\(C\) ( khác gốc toạ độ \(O\)) sao cho \(M\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)có phương trình là:

A.  \(3x + 2y + z - 10 = 0\).

B.  \(x + 2y + 3z + 14 = 0\).

C.  \(x + 2y + 3z - 14 = 0\).

D.  \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} - 1 = 0\).

Câu 22.  Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng \(a\). Tính diện tích xung quanh của hình nón.

A.  \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}\).                B.  \(\pi {a^2}\sqrt 2 \)

C.  \(\frac{{2\pi {a^2}\sqrt 2 }}{3}\).              D.  \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{4}\)

Câu 23.  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \(y = \left\{ \begin{array}{l} - x{\text{   nếu   } }x \le 1\\x - 2{{\text{   nếu   } } }x > 1\end{array} \right.\) và \(y = \frac{{10}}{3}x - {x^2}\) là \(\frac{a}{b}\). Khi đó \(a + 2b\) bằng

A.  \(15\)                       B.  \(17\)

C.  \(18\)                       D.  \(16\)

Câu 24.  Trong không gian \(Oxyz\) cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), khi đó \(\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]} \right|\) bằng

A.  \(\overrightarrow u .\overrightarrow v .cos\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right).\)

B.  \(\overrightarrow u .\overrightarrow v .\sin \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right).\)

C.  \(\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\sin \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right).\)

D.  \(\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.cos\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right).\)

Câu 25.  Phương trình \({3^{1 - x}} = 2 + {\left( {\frac{1}{9}} \right)^x}\)có bao nhiêu nghiệm âm?

A.  \(1\)                         B.  \(3\)

C.  \(2\)                         D.  \(0\)

Câu 26.  Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = a{x^2}\), \(y = bx\) \(\left( {a,b \ne 0} \right)\) quay xung quanh trục \(Ox\). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A.  \(V = \pi .\frac{{{b^3}}}{{{a^3}}}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right)\)

B.  \(V = \pi .\frac{{{b^5}}}{{5{a^3}}}\)

C.  \(V = \pi .\frac{{{b^5}}}{{3{a^3}}}\).

D.  \(V = \pi .\frac{{{b^5}}}{{{a^3}}}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right)\)

Câu 27.  Hàm số \(f\left( x \right) = 2\ln \left( {x + 1} \right) - {x^2} + x\) đạt giá trị lớn nhất tại giá trị của x bằng:

A.  \(0\)                         B.  \(2\)

C.  \(1\)                         D.  \(e\)

Câu 28.  Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) và tiếp xúc với trục \(Oy\) là:

A.  \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 8.\)

B.  \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 10.\)

C.  \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9.\)

D.  \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16.\)

Câu 29.  Cho hai điểm \(A,B\) phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua \(A\) và \(B\) là

A.  trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).

B.  đường thẳng trung trực của \(AB\).

C.  mặt phẳng song song với đường thẳng \(AB\).

D.  mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\).

Câu 30.  Cho đồ thị hàm số \(y = f(x)\). Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là

A.  \(S = \int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx - } \int\limits_0^1 {f(x)dx} \)

B.  \(S = \int\limits_{ - 2}^1 {f(x)dx} \)

C.  \(S = \int\limits_0^{ - 2} {f(x)dx + } \int\limits_0^1 {f(x)dx} \)

D.  \(S = \int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx + } \int\limits_0^1 {f(x)dx} \)

Câu 31.  Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và số thực dương \(a\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào luôn đúng?

A.  \(\int\limits_a^a {f(x)dx}  = f(a)\).

B.  \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx}  = 1\).

C.  \(\int\limits_a^a {f(x)dx}  =  - 1\).

D.  \(\int\limits_a^a {f(x)dx}  = 0\).

Câu 32.  Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxy\) cho mặt cầu \(\left( S \right):\)\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\). Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\), song song với \(\left( \alpha  \right):2x + 2y - z - 4 = 0\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 6}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{1}\) là.

A.  \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 2 - 5t\\z =  - 3 - 8t\end{array} \right..\)

B.  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y =  - 2 - 5t\\z = 3 - 8t\end{array} \right.\,.\)

C.  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y =  - 2 + 5t\\z = 3 + 8t\end{array} \right..\)

D.  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y =  - 2 + 5t\\z = 3 - 8t\end{array} \right..\)

Câu 33.  Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.  Hàm số có hai cực trị.

B.  Hàm số đồng biến trong khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

C.  Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x =  - 1\), tiệm cận ngang \(y = 2\).

D.  Hàm số nghịch biến trong khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Câu 34.  Cho số phức \(z = 6 + 7i\). Số phức liên hợp của \(z\) là

A.  \(\overline z  =  - 6 + 7i\).                           B.  \(\overline z  = 6 - 7i\).

C.  \(\overline z  = 6 + 7i\).                              D.  \(\overline z  =  - 6 - 7i\).

Câu 35.  Tính khoảng cách từ điểm \(B\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):y + 1 = 0\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A.  \(\frac{{\left| {{y_0} + 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}.\)                         B.  \(\left| {{y_0} + 1} \right|.\)

C.  \({y_0}.\)                 D.  \(\left| {{y_0}} \right|.\)

Câu 36.  Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 32\) là:

A.  \(\left( {5; + \infty } \right)\).

B.  \(\left( { - \infty ; - 5} \right)\).

C.  \(\left( { - \infty ;5} \right)\).

D.  \(\left( { - 5; + \infty } \right)\).

Câu 37.  Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x),Ox,x = a,x = b\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A.  \(V = \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx.} \)

B.  \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx.} \)

C.  \(V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {f(x)dx.} \)

D.  \(V = \int\limits_a^b {{\pi ^2}{f^2}(x)dx.} \)

Câu 38.  Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\ln 3} {x{e^x}dx} \)

A.  \(I = 3\ln 3 - 3\)

B.  \(I = 3\ln 3 - 2\)

C.  \(I = 2 - 3\ln 3\)

D.  \(I = 3 - 3\ln 3\)

Câu 39.  Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\)\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\), điểm \(A\left( {0;0;2} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo thiết diện là hình tròn \(\left( C \right)\)có diện tích nhỏ nhất ?

A.  \(\left( P \right):x + 2y + z - 2 = 0\).

B.  \(\left( P \right):3x + 2y + 2z - 4 = 0\).

C.  \(\left( P \right):x - 2y + 3z - 6 = 0\).

D.  \(\left( P \right):x + 2y + 3z - 6 = 0\).

Câu 40.  Cho hàm số \(f\) liên tục trên đoạn \([0;3]\). Nếu \(\int\limits_0^3 {f(x)dx}  = 2\) thì tích phân \(\int\limits_0^3 {\left[ {x - 2f(x)} \right]dx} \) có giá trị bằng

A.  \(7\).                        B.  \(\frac{5}{2}\).

C.  \(5\).                        D.  \(\frac{1}{2}\).

Câu 41.  Cho hai số phức \({z_1} = 1 + i\) và \({z_2} =  - 5 + 2i\). Tính môđun của số phức \({z_1} + {z_2}\)

A.  \( - \sqrt 7 \).             B.  \(5\)

C.  \( - 5\).                     D.  \(\sqrt 7 \).

Câu 42.  Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn \(\int\limits_{ - 1}^1 {f(x)dx}  = \int\limits_{ - 2}^2 {f(x)dx} \)?

A.  \(f(x) = x + 1\).

B.  \(f(x) = {e^x}\).

C.  \(f(x) = \cos x\).

D.  \(f(x) = \sin x\).

Câu 43.  Cho số phức \(z = a + ai\,\,\,\,\left( {a \in \mathbb{R}} \right)\). Tập hợp các điểm biểu diễn số phức liên hợp của z trong mặt phẳng tọa độ là:

A.  \(x = a\).                   B.  \(y = a\).

C. \(x + y = 0\).              D.  \(y = x\).

Câu 44.  Tích phân \(I = \int\limits_2^5 {\frac{{dx}}{x}} \) có giá trị bằng

A.  \(\ln \frac{2}{5}\).   B.  \(\frac{1}{3}\ln 3\).

C.  \(3\ln 3\).                  D.  \(\ln \frac{5}{2}\).

Câu 45.  Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ?

A.  \({\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} - 1.\)

B.  \({x^2} + {y^2} - {z^2} + 2x - y + 1 = 0.\)

C.  \(2{x^2} + 2{y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - {z^2} + 2x - 1.\)

D.  \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x = 0.\)

Câu 46.  Đạo hàm của hàm số \(y = {\log _5}x,\,x > 0\)là:

A.  \(y' = \frac{1}{{x\ln 5}}\)

B.  \(y' = x\ln 5\)

C.  \(y' = {5^x}\ln 5\)

D.  \(y' = \frac{1}{{{5^x}\ln 5}}\)

Câu 47.  Phần thực, phần ảo của số phức \(z\) thỏa mãn \(\overline z  = \frac{5}{{1 - 2i}} - 3i\) lần lượt là

A.  \(1;1\)                      B.  \(1; - 2\).

C.  \(1;2\).                     D.  \(1; - 1\).

Câu 48.  Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz,\) cho các điểm \(A\left( {1;0;\,0} \right),\,B\left( {0;b;\,0} \right),\,C\left( {0;\,0;c} \right)\) trong đó \(b,\,c\) dương và mặt phẳng \(\left( P \right):\,y - \,z\, + 1\, = 0\). Biết rằng \(mp\left( {ABC} \right)\) vuông góc với \(mp\left( P \right)\) và \(d\left( {O,\,\left( {ABC} \right)} \right)\, = \,\frac{1}{3}\), mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(b + \,c = \,1.\)

B.  \(2b + \,c = \,1.\)

C.  \(b - 3\,c = \,1.\)

D.  \(3b + \,c = \,3.\)

Câu 49.  Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\) với trục \(Ox\) là

A.  \(1\).                        B.  \(3.\)

C.  \(0.\)                        D.  \(2.\)

Câu 50.  Trong không gian \(Oxyz\), tọa độ giao điểm M của đường thẳng \(d:\frac{{x - 12}}{4} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 1}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 5y - z - 2 = 0\) là

A.  \(\left( {0; - 2; - 3} \right)\) .

B.  \(\left( {0;2;3} \right)\).

C.  \(\left( {0;0; - 2} \right)\).

D.  \(\left( {0;0;2} \right)\) .

------- HẾT -------

ĐÁP ÁN

 

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn

Câu 1:

Phương pháp:

Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

Đáp án D

Câu 2:

Phương pháp:

Cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow n \)  và đường thẳng \(d\) có VTCP \(\overrightarrow u \)

Khi đó góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\alpha \). Ta có:

\(\sin \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}}\)

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng \((\alpha ):\,\,x\,\, + \,\,2y\,\, + 3z - \,\,2020\,\, = \,\,0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2;3} \right)\)

Đường thẳng \(d:\,\,\frac{{x\,\, - \,\,1}}{1}\,\, = \,\,\frac{{1 - \,\,y}}{2}\,\, = \,\,\frac{{z\,\, + \,\,3}}{3}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( {1;2;3} \right)\)

Góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là \(\beta \).

\(\sin \beta  = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\) \( = \frac{{\left| {1.1 + 2.2 + 3.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }}\) \( = \frac{{14}}{{14}} = 1\) \( \Rightarrow \beta  = {90^0}\)

Đáp án D

Câu 3:

Phương pháp:

Thay số phức \(z = 1 + 2i\) vào phương trình để tìm \(a + b\)

Hướng dẫn giải:

Vì \(z = 1 + 2i\) là nghiệm của phương trình \({z^2} + az + b = 0\) nên ta có:

\({\left( {1 + 2i} \right)^2} + a.\left( {1 + 2i} \right) + b = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 3 + 4i + a + 2ai + b = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b - 3} \right) + \left( {2a + 4} \right)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b - 3 = 0\\2a + 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 5\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + b =  - 2 + 5 = 3\end{array}\)

Đáp án B

Câu 4:

Phương pháp:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in K\), dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm thì đồng biến trên \(K\).

Hướng dẫn giải:

Hàm số đã cho xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + m\)

Để hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0\) với mọi \(x > 0\) (dấu “=” xáy ra tại hữu hạn điểm)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + m \ge 0\) với mọi \(x > 0\)

\( \Leftrightarrow m \ge  - 3{x^2} + 12x\) với mọi \(x > 0\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) =  - 3{x^2} + 12x\) đạt giá trị lớn nhất là \(12\) tại \(x =  - \frac{b}{{2a}} = 2\) \( \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Nên \(m \ge 12\).

Đáp án D

Câu 5:

Phương pháp:

Véc tơ \(k\overrightarrow a \left( {k \ne 0} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow a \)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\overrightarrow a  = \left( {1;3;4} \right)\) nên \( - 2\overrightarrow a  = \left( { - 2; - 6; - 8} \right)\)\( = \overrightarrow b \) cùng phương với \(\overrightarrow a .\)

Đáp án C

Câu 6:

Phương pháp:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f\left( x \right);y = g\left( x \right)\) và \(x = a;x = b\) được tính bởi công thức: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - x = {x^2} - x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

\(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - x - \left( {{x^2} - x} \right)} \right|} dx\) \( = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)dx} } \right|\) \( = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1} \right| = \left| {\frac{1}{4} - \frac{1}{3}} \right| = \frac{1}{{12}}\)

Đáp án A

Câu 7:

Phương pháp:

Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\) có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\overrightarrow u  = \left( {1;2;1} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(d\) và \(M\left( { - 1;3;2} \right) \in d\)

Suy ra \(d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {IM} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\) \( = 3\sqrt 2 \)

Vì \(IA = IB\) nên tam giác \(IAB\) vuông cân tại \(I\). Kẻ \(IH \bot d\) tại \(H \Rightarrow IH = d\left( {I;d} \right) = 3\sqrt 2 \)

Tam giác \(IHA\) vuông tạ \(H\) có \(\widehat {IAH} = {45^0}\)  nên \(IHA\) vuông cân tại \(H\).

Suy ra \(IA = IH\sqrt 2  = 6\)

Hay bán kính mặt cầu là \(6\).

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là:  \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 36.\)

Đáp án B

Câu 8:

Phương pháp:

Số phức \(z = a + bi\) có mô đun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(z = 2i - 2 = 2\left( {i - 1} \right)\) nên \({z^2} = 4{\left( {i - 1} \right)^2}\) \( = 4.\left( {{i^2} - 2i + 1} \right) =  - 8i\)

Ta có: \({z^{2016}} = {\left( {{z^2}} \right)^{1008}}\) \( = {\left( { - 8i} \right)^{1008}} = {8^{1008}}.{\left( {{i^2}} \right)^{504}}\) \( = {8^{1008}}.{\left( { - 1} \right)^{504}} = {8^{1008}}\) \( = {2^{3024}}\)

Nên \(\left| {{z^{2016}}} \right| = {2^{3024}}\)

Đáp án A

Câu 9:

Phương pháp:

Biến đổi để có \(f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = 42\) rồi lấy tích phân hai vế.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \({f'}(x) = {f'}(1 - x)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {{f'}(x)} dx = \int {{f'}(1 - x)dx} \\ \Rightarrow f\left( x \right) =  - f\left( {1 - x} \right) + C\end{array}\)

Mà \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( 1 \right) = 41\) suy ra  \(f\left( 0 \right) =  - f\left( {1 - 0} \right) + C\) \( \Leftrightarrow C = 1 + 41 = 42\)

Như vậy

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) =  - f\left( {1 - x} \right) + 42\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = 42\end{array}\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx}  = \int\limits_0^1 {42} dx\)

Mà \({f'}(x) = {f'}(1 - x)\)\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx} \)

Từ đó \(2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 42\) \( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 21\)

Đáp án C

Câu 10:

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính thể tích khối cầu bán kính \(R\) là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\) và công thức tính diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{1}{3}R.4\pi {R^2}\) \( = \frac{1}{3}R.S\) \( \Rightarrow S = \frac{{3V}}{S}\)

Đáp án C

Câu 11:

Phương pháp:

Sử dụng: \(d\left( {f\left( x \right)} \right) = f'\left( x \right)dx\) hoặc sử dụng phương pháp đổi biến số

Hướng dẫn giải:

Đặt \(2\sin x = t \Rightarrow 2\cos xdx = dt\)

Đổi cận: \(x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 2\) và \(x = 0 \Rightarrow t = 0\)

Ta có: \(\int\limits_0^2 {f\left( t \right)\frac{1}{2}dt} \) \( = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt}  = \frac{1}{2}.6 = 3\)

Đáp án B

Câu 12:

Phương pháp:

Số phức \(z = a + bi\) có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là \(M\left( {a;b} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Gọi \(z = x + yi\) có điểm biểu diễn \(A\left( {x;y} \right)\)

Số phức \( - z =  - x - yi\) có điểm biểu diễn \(B\left( { - x; - y} \right)\)

Suy ra hai điểm A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O nếu \(z \ne 0\), trùng với gốc tọa độ O nếu \(z = 0\) và đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ.

Vậy B, C, D đúng. A sai.

Đáp án A

Câu 13:

Phương pháp:

Sử dụng: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(y' = 3{x^2} + 6x\)

\(y'\left( 1 \right) = 9\)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y = y'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) + 4\) \( \Leftrightarrow y = 9\left( {x - 1} \right) + 4\) \( \Leftrightarrow y = 9x - 5\)

Đáp án C

Câu 14:

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính thể tích khối tam diện vuông \(OABC\) vuông tại \(O\) là \(V = \frac{1}{6}OA.OB.OC\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(V = \frac{1}{6}OA.OB.OC\) \( = \frac{1}{6}.a.2a.2a = \frac{2}{3}{a^3}\)

Đáp án D

Câu 15:

Phương pháp:

Sử dụng \(\overrightarrow a  = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),\overrightarrow b  = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) suy ra \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left( { - 2} \right).0 + 2.1 + 5.2\) \( = 12.\)

Đáp án A

Câu 16:

Phương pháp:

Hàm số \(y = {\log _a}f\left( x \right)\) với \(a > 0\) xác định khi \(f\left( x \right) > 0\)

Hướng dẫn giải:

Hàm số \(f\left( x \right)\) xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {3x + 4} \right) \ge 0\\3x + 4 > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 4 \ge 1\\3x + 4 > 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 3x \ge  - 3 \Leftrightarrow x \ge  - 1\)

Vậy tập xác định \(D = \left[ { - 1; + \infty } \right)\)

Đáp án A

Câu 17:

Phương pháp:

Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)

B1: Tìm TXĐ

B2: Tìm \(f'\left( x \right)\), gpt \(f'\left( x \right) = 0\) tìm các nghiệm \({x_i} \in \left[ {a;b} \right]\) và các \({x_j}\) làm cho \(f'\left( x \right)\) không xác định (nếu có)

B3: Tính \(f\left( a \right);f\left( {{x_i}} \right);f\left( {{x_j}} \right);f\left( b \right)\)

Khi đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);f\left( {{x_i}} \right);f\left( {{x_j}} \right);f\left( b \right)} \right\}\) và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);f\left( {{x_i}} \right);f\left( {{x_j}} \right);f\left( b \right)} \right\}\)

Hướng dẫn giải:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

Ta có: \(y' = {x^2} + 4x + 3 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \in \left[ { - 4;0} \right]\\x =  - 3 \in \left[ { - 4;0} \right]\end{array} \right.\)

Suy ra \(f\left( 0 \right) =  - 4;\) \(f\left( { - 1} \right) =  - \frac{{16}}{3};\) \(f\left( { - 3} \right) =  - 4;f\left( { - 4} \right) =  - \frac{{16}}{3}\)

Nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 4;0} \right]} y =  - 4\) khi \(x = 0;x =  - 3\)

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4;0} \right]} y =  - \frac{{16}}{3}\) khi \(x =  - 1;x =  - 4\)

Từ đó \(M + m =  - 4 + \frac{{ - 16}}{3} =  - \frac{{18}}{3}\)

Đáp án B

Câu 18:

Phương pháp:

Số phức \(z = a + bi\) có \(a\) là phần thực

Hướng dẫn giải:

Ta có \(z = \left( {2 + 3i} \right)i =  - 3 + 2i\) có phần thực là \( - 3.\)

Đáp án C

Câu 19:

Phương pháp:

Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) 

Hướng dẫn giải:

Gọi \(z = x + yi\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\) 

Ta có:

 \(\begin{array}{l}\left| {x + yi - 5i} \right| \le 3\\ \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 5} \right)i} \right| \le 3\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} \le 9\end{array}\)

Tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là hình tròn tâm \(I\left( {0;5} \right)\) bán kính \(R = 3\) (tính cả biên)

Số phức \(z\) có điểm biểu diễn \(M\left( {x;y} \right)\) và có mô đun \(OM\)

Ta thấy \(OM\) nhỏ nhất khi \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(OI\) với đường tròn \(\left( I \right):{x^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 9\)

Đường thẳng \(OI\) đi qua \(O\left( {0;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {OI}  = \left( {0;5} \right)\) làm VTCP nên có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\end{array} \right.\)

Thay \(x = 0;y = t\) vào phương trình đường tròn \(\left( I \right)\) ta được: \({\left( {t - 5} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8\\t = 2\end{array} \right.\)

Với \(t = 8 \Rightarrow M\left( {0;8} \right)\) nên \(OM = 8\)

Với \(t = 2 \Rightarrow M\left( {0;2} \right)\) nên \(OM = 2\) (nhận vì \(2 < 8\))

Vậy \(z = 2i\) hay phần ảo cần tìm là \(2.\)

Đáp án A

Câu 20:

Phương pháp:

Sử dụng \(S\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} \) với \(S\left( t \right)\) là quãng đường và \(v\left( t \right)\) là vận tốc tính theo thời gian \(t\).

Hướng dẫn giải:

Khi dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 nên ta có: \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - 6t + 12 = 0\) \( \Leftrightarrow t = 2.\)

Quãng đường ô tô đi được là: \(S = \int\limits_0^2 {\left( { - 6t + 12} \right)dt} \) \( = \left. {\left( { - 3{t^2} + 12t} \right)} \right|_0^2 = 12m\)

Đáp án D

Câu 21:

Phương pháp:

Mặt phẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\) là VTPT thì có phương trình là \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\) 

Hướng dẫn giải:

Vì M là trực tâm tam giác ABC nên \(MA \bot BC\)

Lại có \(OA \bot \left( {OBC} \right)\) (do \(Ox;Oy;Oz\) đôi một vuông góc) nên \(BC \bot OA\)

Suy ra \(BC \bot \left( {OAM} \right)\) nên \(BC \bot OM\)

Tương tự ta cũng có \(AB \bot OM\)

Suy ra \(OM \bot \left( {ABC} \right)\)

Như vậy \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(M\left( {1;2;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {OM}  = \left( {1;2;3} \right)\) làm VTPT nên có phương trình:

\(1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z - 3} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0\)

Đáp án C

Câu 22:

Phương pháp:

Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy \(R\) và đường sinh \(l\) là \({S_{xq}} = \pi rl\) 

Hướng dẫn giải:

Thiết diện qua trục là tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S,SA = SB = a\)

Nên \(AB = a\sqrt 2 \), suy ra bán kính đáy là \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) , đường sinh hình nón là \(SA = a\)

Diện tích xung quanh hình nón là \({S_{xq}} = \pi .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}\)

Đáp án A

Câu 23:

Phương pháp:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f\left( x \right);y = g\left( x \right)\) và \(x = a;x = b\) được tính theo công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) 

Hướng dẫn giải:

Với \(x \le 1\), xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{{10}}{3}x - {x^2} =  - x\) \( \Leftrightarrow {x^2} - \frac{{13}}{3}x = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {tm} \right)\\x = \frac{{13}}{3}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Với \(x > 1\) xét phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{10}}{3}x - {x^2} = x - 2\) \({x^2} - \frac{7}{3}x - 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\left( {tm} \right)\\x =  - \frac{2}{3}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Diện tích cần tìm là: \(S = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {\frac{{10}}{3}x - {x^2} - \left( { - x} \right)} \right)} dx} \right|\) \( + \left| {\int\limits_1^3 {\left( {\frac{{10}}{3}x - {x^2} - \left( {x - 2} \right)} \right)} dx} \right|\)

\( = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {\frac{{13}}{3}x - {x^2}} \right)} dx} \right| + \left| {\int\limits_1^3 {\left( {\frac{7}{3}x - {x^2} + 2} \right)} dx} \right|\)

\( = \left| {\left. {\left( {\frac{{13}}{6}{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{7}{6}{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3} + 2x} \right)} \right|_1^3} \right|\)

\( = \frac{{13}}{2}\)

Nên \(a = 13;b = 2 \Rightarrow a + 2b = 17\)

Đáp án B

Câu 24:

Phương pháp:

Sử dụng công thức \(\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\sin \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right).\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\sin \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right).\)

Đáp án C

Câu 25:

Phương pháp:

Đưa về giải phương trình mũ \({a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b\) với \(0 < a \ne 1;b > 0\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({3^{1 - x}} = 2 + {\left( {\frac{1}{9}} \right)^x}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{3}{{{3^x}}} = 2 + \frac{1}{{{3^{2x}}}}\\ \Leftrightarrow {2.3^{2x}} - {3.3^x} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} = 1\\{3^x} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = {\log _3}\frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm âm là \(x = {\log _3}\frac{1}{2} =  - {\log _3}2\)

Đáp án A

Câu 26:

Phương pháp:

Cho phần hình phẳng giới hạn bởi \(y = f\left( x \right);y = g\left( x \right)\) và \(x = a;x = b\) quay xung quanh trục \(Ox\) là \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2} - {{\left[ {g\left( x \right)} \right]}^2}} \right|} dx\)

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(a{x^2} = bx \Leftrightarrow a{x^2} - bx = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{b}{a}\end{array} \right.\)

Thể tích cần tìm là

\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{\frac{b}{a}} {\left| {{a^2}{x^4} - {b^2}{x^2}} \right|dx} \\ = \pi \left| {\left. {\left( {\frac{{{a^2}{x^5}}}{5} - {b^2}\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^{\frac{b}{a}}} \right|\\ = \pi \left| {\frac{{{b^5}}}{{5{a^3}}} - \frac{{{b^5}}}{{3{a^3}}}} \right|\\ = \pi \frac{{{b^5}}}{{{a^3}}}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right)\end{array}\)

Đáp án D

Câu 27:

Phương pháp:

Tìm TXĐ

Tính \(f'\left( x \right)\)

Gpt \(f'\left( x \right) = 0\), lập BBT rồi kết luận

Hướng dẫn giải:

TXĐ: \(D = \left( { - 1; + \infty } \right)\)

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{2}{{x + 1}} - 2x + 1\)

Nên \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{{x + 1}} - 2x + 1 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2 + \left( { - 2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Rightarrow 2 - 2{x^2} - x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {tm} \right)\\x = \frac{{ - 3}}{2}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có BBT:

Vậy hàm số đã cho đạt GTLN tại \(x = 1.\)

Đáp án C

Câu 28:

Phương pháp:

Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\) là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)

Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến \(Oy\) là \(d\left( {M;Oy} \right) = \sqrt {x_0^2 + z_0^2} \)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(d\left( {I;Oy} \right) = \sqrt {{1^2} + {3^2}}  = \sqrt {10} \)

Mặt cầu tâm \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) và tiếp xúc với \(Oy\) nên có bán kính \(R = d\left( {I;Oy} \right) = \sqrt {10} \)

Phương trình mặt cầu:  \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 10\)

Đáp án B

Câu 29:

Phương pháp:

Sử dụng: Trong không gian, tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B phân biệt là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

Hướng dẫn giải:

Trong không gian, tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B phân biệt là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

Đáp án D

Câu 30:

Phương pháp:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f\left( x \right),\) trục hoành và hai đường thẳng \(x = a;x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

Hướng dẫn giải:

Từ hình vẽ ta có:

\(S = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)

Đáp án A

Câu 31:

Phương pháp:

Sử dụng tính chất của tích phân.

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\int\limits_a^a {f(x)dx}  = 0\)

Đáp án D

Câu 32:

Phương pháp:

- Tìm tâm mặt cầu.

- Tìm VTCP của đường thẳng.

Chú ý: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} \\\overrightarrow {{u_d}} //\overrightarrow {{u_\Delta }} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} //\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} ;\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]\)

Hướng dẫn giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2;3} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left( {2;2; - 1} \right),\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {3; - 1;1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} ;\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {1; - 5; - 8} \right)\end{array}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} \\\overrightarrow {{u_d}} //\overrightarrow {{u_\Delta }} \end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} //\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} ;\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]\)

Chọn \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 1;5;8} \right)\) ta có:

Đường thẳng \(d\) đi qua \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 1;5;8} \right)\) làm VTCP nên có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y =  - 2 + 5t\\z = 3 + 8t\end{array} \right..\)

Đáp án C

Câu 33:

Phương pháp:

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Hướng dẫn giải:

Hàm số không có cực trị nên A sai.

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) nên B sai, D sai.

Đồ thị hàm số có TCĐ \(x =  - 1\) và TCN \(y = 2\) nên C đúng.

Đáp án C

Câu 34:

Phương pháp:

Số phức liên hợp của \(z = a + bi\) là \(\overline z  = a - bi\).

Hướng dẫn giải:

Số phức liên hợp của \(z = 6 + 7i\) là \(\overline z  = 6 - 7i\)

Đáp án B

Câu 35:

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) là:

\(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {{y_0} + 1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }}\) \( = \left| {{y_0} + 1} \right|\)

Đáp án B

Câu 36:

Phương pháp:

Sử dụng \({a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)\) với \(0 < a < 1\).

Hướng dẫn giải:

Ta có :

\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 32 \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 5}}\\ \Leftrightarrow x <  - 5\end{array}\)

Đáp án B

Câu 37:

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x),Ox,x = a,x = b\) quanh \(Ox\) là \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx.} \)

Hướng dẫn giải:

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x),Ox,x = a,x = b\) quanh \(Ox\) là \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx.} \)

Đáp án B

Câu 38:

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp từng phần tính tích phân:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right.\)  

Hướng dẫn giải:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. {x{e^x}} \right|_0^{\ln 3} - \int\limits_0^{\ln 3} {{e^x}dx} \\ = \ln 3.{e^{\ln 3}} - 0 - \left. {{e^x}} \right|_0^{\ln 3}\\ = 3\ln 3 - {e^{\ln 3}} + {e^0}\\ = 3\ln 3 - 3 + 1\\ = 3\ln 3 - 2\end{array}\)

Đáp án B

Câu 39:

Phương pháp:

- Kiểm tra vị trí điểm A so với mặt cầu.

- Nhận xét mối quan hệ giữa diện tích hình tròn với khoảng cách từ tâm I đến (P).

Từ đó suy ra điềm kiện.

Hướng dẫn giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = 3\).

Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2}} \) \( = \sqrt 6  < R\)

\( \Rightarrow \) điểm \(A\) nằm trong mặt cầu.

Để hình tròn có diện tích nhỏ nhất thì bán kính hình tròn \(r\) phải nhỏ nhất.

Dễ thấy \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right)} \) nên để \({r_{\min }}\) thì \(d{\left( {I,\left( P \right)} \right)_{\max }}\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) \( \Rightarrow IH \le IA\) \( \Rightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) \le IA\).

Do đó \(d{\left( {I,\left( P \right)} \right)_{\max }} = IA\) khi \(H \equiv A\) hay \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(IA\) hay nhận \(\overrightarrow {IA}  = \left( { - 1; - 2; - 1} \right)\) làm VTPT.

Vậy \(\left( P \right):\) \( - 1\left( {x - 0} \right) - 2\left( {y - 0} \right) - 1\left( {z - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow  - x - 2y - z + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y + z - 2 = 0\)

Đáp án A

Câu 40:

Phương pháp:

Sử dụng tính chất của tích phân, tách tích phân cần tính thành hai tích phân.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^3 {\left[ {x - 2f(x)} \right]dx} \\ = \int\limits_0^3 {xdx}  - 2\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \\ = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^3 - 2.2\\ = \frac{9}{2} - 4 = \frac{1}{2}\end{array}\)

Đáp án D

Câu 41:

Phương pháp:

Sử dụng công thức cộng hai số phức \({z_1} + {z_2} = \left( {{a_1} + {a_2}} \right) + \left( {{b_1} + {b_2}} \right)i\)

Hướng dẫn giải:

Ta có :

\(\begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 1 + i - 5 + 2i\\ = \left( {1 - 5} \right) + \left( {i + 2i} \right)\\ =  - 4 + 3i\\ \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| { - 4 + 3i} \right|\\ = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {3^2}}  = 5\end{array}\)

Đáp án B

Câu 42:

Phương pháp:

Sử dụng lý thuyết: Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ thì \(\int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx}  = 0\)

Hướng dẫn giải:

Nhận xét:

Trong các hàm số đã cho, hàm số \(f\left( x \right) = \sin x\) là hàm lẻ nên \(\int\limits_{ - 1}^1 {\sin xdx}  = 0 = \int\limits_{ - 2}^2 {\sin xdx} \)

Đáp án D

Câu 43:

Phương pháp:

Số phức liên hợp của \(z = a + bi\) là \(\overline z  = a - bi\).

Hướng dẫn giải:

\(z = a + ai \Rightarrow \overline z  = a - ai\)

Tập hợp các điểm \(M\) biểu diễn số phức \(\overline z \) là \(\left( {a; - a} \right)\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = a\\{y_M} =  - a\end{array} \right.\)

Dễ thấy \({x_M} + {y_M} = a + \left( { - a} \right) = 0\) nên \(M\) thuộc đường thẳng \(x + y = 0\).

Đáp án C

Câu 44:

Phương pháp:

Sử dụng nguyên hàm của hàm số cơ bản: \(\int {\frac{{dx}}{x}}  = \ln \left| x \right| + C\)

Hướng dẫn giải:

\(I = \int\limits_2^5 {\frac{{dx}}{x}}  = \left. {\ln \left| x \right|} \right|_2^5\) \( = \ln 5 - \ln 2 = \ln \frac{5}{2}\)

Đáp án D

Câu 45:

Phương pháp:

Phương trình mặt cầu dạng khai triển là:

\({x^2} + {y^2} + {z^2}\) \( - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)

ở đó \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án A:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2xy = 2xy - {z^2} - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 1 = 0\end{array}\)

Có \(a = 0,b = 0,c = 0,d = 1\)

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d\) \( = {0^2} + {0^2} + {0^2} - 1 =  - 1 < 0\)

Nên không là phương trình mặt cầu.

Đáp án B:

\({x^2} + {y^2} - {z^2} + 2x - y + 1 = 0\) không là phương trình mặt cầu vì xuất hiện số hạng \( - {z^2}\).

Đáp án C:

\(\begin{array}{l}2{x^2} + 2{y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - {z^2} + 2x - 1\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy - {z^2} + 2x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2xy - 2x + 1 = 0\end{array}\)

Đây không phải phương trình mặt cầu vì xuất hiện số hạng \( - 2xy\).

Đáp án D: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x = 0\)

Có \(a = 1,b = c = d = 0\) nên \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 > 0\)

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu.

Đáp án D

Câu 46:

Phương pháp:

Sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(y' = \left( {{{\log }_5}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln 5}}\)

Đáp án A

Câu 47:

Phương pháp:

Tính toán thu gọn số phức \(\overline z \), từ đó suy ra phần thực và ảo của số phức \(z\).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overline z  = \frac{5}{{1 - 2i}} - 3i\\ = \frac{{5\left( {1 + 2i} \right)}}{{\left( {1 - 2i} \right)\left( {1 + 2i} \right)}} - 3i\\ = \frac{{5 + 10i}}{{1 - 4{i^2}}} - 3i = \frac{{5 + 10i}}{{1 + 4}} - 3i\\ = \frac{{5 + 10i}}{5} - 3i = 1 + 2i - 3i\\ = 1 - i\\ \Rightarrow z = 1 + i\end{array}\)

Vậy phần thực và phần ảo của \(z\) là \(1\) và \(1\).

Đáp án A

Câu 48:

Phương pháp:

- Sử dụng công thức viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn để viết phương trình \(\left( {ABC} \right)\)

- Sử dụng các giả thiết bài cho lập hệ phương trình ẩn \(b,c\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {ABC} \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\\ \Leftrightarrow x + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( {ABC} \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {1;\frac{1}{b};\frac{1}{c}} \right)\).

\(\left( P \right):y - z + 1 = 0\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {0;1; - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = 0\\ \Rightarrow 1.0 + \frac{1}{b}.1 + \frac{1}{c}.\left( { - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{b} - \frac{1}{c} = 0\\ \Rightarrow \frac{1}{c} = \frac{1}{b}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {0 + \frac{0}{b} + \frac{0}{c} - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \frac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \sqrt {1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}}  = 3\\ \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = 9\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = 8\end{array}\)

Thay \(\frac{1}{c} = \frac{1}{b}\) ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{b^2}}} + {\left( {\frac{1}{b}} \right)^2} = 8\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 8\\ \Leftrightarrow \frac{2}{{{b^2}}} = 8 \Leftrightarrow {b^2} = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow b = \frac{1}{2} \Rightarrow c = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow b + c = 1\end{array}\) 

Đáp án A

Câu 49:

Phương pháp:

Giải phương trình hoành độ giao điểm, từ đó suy ra số nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\{x^2} + 3x + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\\x =  - 2\\x =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy đồ thị hàm số cắt trục \(Ox\) tại \(3\) điểm phân biệt.

Đáp án B

Câu 50:

Phương pháp:

Viết phương trình đường thẳng \(d\) dưới dạng tham số.

Giải hệ phương trình tọa độ giao điểm và kết luận.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}d:\frac{{x - 12}}{4} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 1}}{1}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12 + 4t\\y = 9 + 3t\\z = 1 + t\end{array} \right.\end{array}\)

Điểm \(M \in d\) \( \Rightarrow M\left( {12 + 4t;9 + 3t;1 + t} \right)\)

\(\begin{array}{l}M \in \left( P \right)\\ \Leftrightarrow 3\left( {12 + 4t} \right) + 5\left( {9 + 3t} \right) - \left( {1 + t} \right) - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 36 + 12t + 45 + 15t - 1 - t - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 78 + 26t = 0\\ \Leftrightarrow t =  - 3\\ \Rightarrow M\left( {0;0; - 2} \right)\end{array}\)

Đáp án C