Bài 9 trang 170 SBT hình học 12

Đề bài

Trong không gian Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1)

a) Hãy tìm tọa độ các đỉnh còn lại.

b) Chứng minh A'C ⊥ (BC'D)

c) Tìm tọa độ của chân đường vuông góc chung của B'D' và BC'.

Lời giải chi tiết

a) Dễ thấy C(1; 1; 0), B'(1; 0; 1), D'(0; 1; 1), C'(1; 1; 1), D'(0; 1; 1).

b) Ta có: \(\overrightarrow {A'C}  = \left( {1;1; - 1} \right)\)

\(\overrightarrow {BC'}  = \left( {0;1;1} \right)\), \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {B'D'}  = \left( { - 1;1;0} \right)\)

Do đó \(\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {BC'}  = 0\) và \(\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {BD}  = 0\)

Từ đó suy ra \(A'C \bot BC',A'C \bot BD\) nên A'C ⊥ (BC'D).

c)

Gọi IJ là đường vuông góc chung của B'D' và BC'

\(\overrightarrow {{n_1}} \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) qua B'D' và song song với A’C

\(\overrightarrow {{n_2}} \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) qua BC' và song song với A'C.

Khi đó \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {A'C} ,\overrightarrow {B'D'} } \right] = \left( {1;1;2} \right)\)

\(\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {A'C} ,\overrightarrow {BC'} } \right] = \left( {2; - 1;1} \right)\)

Phương trình của (P) là: (x - 1) + y + 2(z - 1) = 0 hay x + y + 2z - 3 = 0.

Phương trình của (Q) là: 2(x - 1) - y + z = 0 hay 2x - y + z - 2 = 0.

Phương trình của (B'D') là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = t\\z = 1\end{array} \right.\) .

Phương trình của (BC') là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = t\\z = t\end{array} \right.\)

I là giao điểm của đường thẳng B'D' và (Q), để tìm tọa độ của I ta thế phương trình đường thẳng B'D' vào phương trình của (Q)

Ta có: 2(1 - t) - t + 1 - 2 = 0, hay t = 1/3.

Từ đó suy ra I(2/3; 1/3; 1)

Tương tự, ta tìm được J(1; 2/3; 1/3).