Bài 59 trang 136 Vở bài tập toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(E, F, G, H\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB, BC, CD, DA.\) Các đường chéo \(AC, BD\) của tứ giác \(ABCD\) có điều kiện gì thì \(EFGH\) là:

a) Hình chữ nhật?

b) Hình thoi?      

c) Hình vuông?

Lời giải chi tiết

Trước hết ta chứng minh \(EF//GH//AC,\,EH//FG//BD,\) \(EF=HG= \dfrac{1}{2}AC,\) \(EH=FG=\dfrac{1}{2}BD\) 

Thật vậy: \(\Delta ABC\) có \(EB = EA, FB = FC\) 

Suy ra \(EF //AC, EF =  \dfrac{1}{2} AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\(\Delta ADC\) có \(HD = HA, GD = GC\)

Suy ra \(HG // AC, HG =  \dfrac{1}{2}AC\)

Do đó \(EF //HG//AC\).

Chứng minh tương tự ta có \(EH//FG//BD\).

Ta có:

\( EF =  \dfrac{1}{2} AC\) (chứng minh trên)

\(HG =  \dfrac{1}{2}AC\) (chứng minh trên)

Do đó \(EF=HG= \dfrac{1}{2}AC\).

Chứng minh tương tự \(EH=FG=\dfrac{1}{2}BD\).

a) Theo chứng minh trên, \(EFGH\) là hình bình hành có \(EF//AC; EH//BD\).

Do đó:

Hình bình hành \(EFGH\) là hình chữ nhật \(⇔EF  ⊥ EH⇔ AC ⊥ BD\)

b) Theo chứng minh trên, \(EFGH\) là hình bình hành có \(EF = \dfrac{1}{2}AC,EH = \dfrac{1}{2}BD\). Do đó: Theo dấu hiệu nhận biết hình thoi thì

Hình bình hành \(EFGH\) là hình thoi \(⇔ EF = EH⇔AC = BD\)

c) \(EFGH\) là hình vuông \(⇔\) \(EFGH\) vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.

\(\Rightarrow AC ⊥ BD\) và \(AC = BD\).

Giải thích:  \(EH//FG//BD\) và \(EH=FG=\dfrac{1}{2}BD\).

\(EB = EA, AH = HD\) (gt)

Do đó \(EH\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\).

Suy ra \(EH //BD, EH =   \dfrac{1}{2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\(CF = FB, GD = GC\) (gt)

Do đó \(FG\) là đường trung bình của tam giác \(BDC\).

Suy ra \(FG // BD, FG =  \dfrac{1}{2} BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác)