Bài 57 trang 125 Vở bài tập toán 9 tập 2

Đề bài

Các đường cao hạ từ \(A\) và \(B\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\) (góc \(C\) khác \(90\)^o) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) lần lượt tại \(D\) và \(E\). Chứng minh rắng:

a) \(CD = CE\)

b) Tam giác \(BHD\) cân

c) \(CD = CH\)

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(M,N\) lần lượt là giao điểm của \(AD\) với \(BC\) và \(BE\) với \(AC.\)

Các góc \(ANB\) và \(AMB\) là hai  góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn nên  ta có :

\(\widehat {ANB} = \dfrac{1}{2}\)(sđ \(\overparen{EC}+\) sđ \(\overparen{AB}\)) \( = 90^\circ \) (vì \(BE \bot AC\))

\(\widehat {AMB} = \dfrac{1}{2}\) (sđ\(\overparen{DC}+\) sđ \(\overparen{AB}\)) \( = 90^\circ \) (vì \(AD \bot BC\))

Vậy ta có  sđ\(\overparen{CE}=\) sđ\(\overparen{CD}\)\( \Leftrightarrow CD = CE\)

b) Các góc \(EBC\) và \(CBD\) là hai  góc nội tiếp nên  ta có :

\(\widehat {EBC} = \dfrac{1}{2}\) sđ\(\overparen{EC}\) và \(\widehat {CBD} = \dfrac{1}{2}\) sđ\(\overparen{DC}\)

Theo câu a) ta có \(\overparen{CD}=\overparen{CE}\), suy ra \(\widehat {EBC} = \widehat {CBD}.\)

Do đó,  \(BM\) vừa là đường cao vừa là đường phân giác của  \(\Delta BHD\).

Vậy \(\Delta BHD\) cân .

c) Vì \(\Delta BHD\) cân \(BM\) là đường trung trực của đoạn \(HD \Rightarrow MH = MO.\)

Xét \(\Delta HMC\) và \(\Delta DMC\) vuông tại \(M\) và \(CM\) là cạnh chung; \(MH = MD.\)

Vậy \(\Delta HMC = \Delta DMC \) \( \Rightarrow CD = CH.\)