Bài 54 trang 86 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Dựng hình thang cân \(ABCD\) \((AB // CD),\) biết hai đáy \(AB = 2cm,\) \( CD = 4cm,\) đường cao \(AH = 2cm.\)

Lời giải chi tiết

Phân tích: Giả sử hình thang \(ABCD\) dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Tam giác \(ADH\) dựng được vì biết hai cạnh góc vuông \(AH = 2cm\) và \(HD = 1cm,\) \(\widehat H = {90^0}\). Vì đáy \(AB < CD\) nên \(\widehat D < {90^0}\). Điểm \(H\) nằm giữa \(D\) và \(C\).

Điểm \(C\) nằm trên tia đối tia \(HD\) và cách \(H\) một khoảng bằng \(3cm\)

Điểm \(B\) thỏa mãn hai điều kiện:

- \(B\) nằm trên đường thẳng đi qua \(A\) và song song với \(DH.\)

- \(B\) cách \(A\) một khoảng bằng \(2cm\)

Cách dựng:

- Dựng \(∆ AHD\) biết \(\widehat H = 90^0,\) \(AH =2cm,\) \(HD = 1cm\)

- Dựng tia đối của tia \(HD\)

- Trên tia đối của tia \(HD,\) dựng điểm \(C\) sao cho \(HC = 3cm\)

- Dựng tia \(Ax // DH,\) \(Ax\) nằm trên nửa mặt phẳng bờ \(AD\) chứa điểm \(H\)

- Dựng điểm \(B\) trên tia \(Ax\) sao cho \(AB = 2cm.\) Nối \(CB\) ta có hình thang \(ABCD\) cần dựng.

Chứng minh:

Tứ giác \(ABCD\) là hình thang vì \(AB // CD\)

Kẻ \(BK ⊥ CD.\) Tứ giác \(ABKH\) là hình thang có hai cạnh bên song song

Nên :   \(BK = AH\) và \(KH = AB\)

Suy ra: \(KC = HC – KH = HC – AB\)\( = 3− 2 = 1 \;\;(cm)\)

Vì \(AH=BK\) và \(KC=DH\,(=1cm)\)

Suy ra hai tam giác vuông: \(∆ AHD = ∆ BKC \;\;(c.g.c) \) \(\Rightarrow \widehat D = \widehat C\)

Vậy hình thang \(ABCD\) là hình thang cân.

Hình thang cân \(ABCD\) có: \(AH = 2cm,\) đáy \(AB = 2cm,\) đáy \(CD = 4cm\)

Thỏa mãn điều kiện bài toán.

Biện luận: Tam giác \(AHD\) luôn dựng được nên hình thang \(ABCD\) luôn dựng được. Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện bài toán.