Giải bài 5 trang 69 sách bài tập toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi góc \(x\left( {0^\circ  \le x \le 90^\circ } \right)\), ta đều có:

a) \(\sin x = \sqrt {1 - {{\cos }^2}x} \) 

b) \(\cos x = \sqrt {1 - {{\sin }^2}x} \)

c) \({\tan ^2}x = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\left( {x \ne 90^\circ } \right)\)               d) \({\cot ^2}x = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\left( {x \ne 0^\circ } \right)\)

Lời giải chi tiết

a) Theo định nghĩa ta có \(\sin x = {y_0},\cos x = {x_0}\)

Với \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) là tọa độ điểm M sao cho \(\widehat {xOM} = x\)

Ta có \({x^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\)

\( \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\)

Mà \(0^\circ  \le x \le 90^\circ \) nên \(\sin x > 0\)

\( \Rightarrow \sin x = \sqrt {1 - {{\cos }^2}x} \)

b) Tương tự câu a) ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\\ \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x\end{array}\)

Mà \(0^\circ  \le x \le 90^\circ \) nên \(\cos x > 0\)\( \Rightarrow \cos x = \sqrt {1 - {{\sin }^2}x} \)

c) Với \({x_0} \ne 0\) ta có

 \(\tan x = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}} = \frac{{\sin x}}{{\cos x}},\cos x \ne 0\) 

\( \Rightarrow {\tan ^2}x = {\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right)^2} \Rightarrow {\tan ^2}x = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\)  (với \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 90^\circ \))   đpcm

c) Với \({y_0} \ne 0\) ta có

 \(\cot x = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x}},\sin x \ne 0\)  

\( \Rightarrow {\cot ^2}x = {\left( {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right)^2} \Rightarrow {\cot ^2}x = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\) (với \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0^\circ \))     đpcm