Giải bài 4.34 trang 65 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(A(2;1)\) và \(B(4;3).\)

a) Tìm tọa độ của điểm \(C\) thuộc trục hoành sao cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Tính chu vi và diện tích của tam giác \(ABC.\)

b) Tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho tam giác \(ABD\) vuông cân tại \(A.\)

Lời giải chi tiết

a)      Vì điểm \(C\) thuộc trục hoành nên tọa độ điểm \(C\) là: \(C(x;0)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (2;2)\) và \(\overrightarrow {AC}  = (x - 2; - 1)\)

Để tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(2\left( {x - 2} \right) - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(2x - 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(x = 3\)

Vậy \(C(3;0).\)

Ta có: \(AB = 2\sqrt 2 ,\) \(AC = \sqrt 2 \) và \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( {3 - 4} \right)}^2} + {3^2}}  = \sqrt {10} \)

Chu vi tam giác \(ABC\) là: \(AB + AC + BC = 2\sqrt 2  + \sqrt 2  + \sqrt {10}  = 3\sqrt 2  + \sqrt {10} \)

Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 .\sqrt 2  = 2\) (đvdt)

b)     Gọi tọa độ điểm \(D\) là: \(D(x;y)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AD}  = (x - 2;y - 1)\) và \(\overrightarrow {AB}  = (2;2)\)

Để tam giác \(ABD\) vuông cân tại \(A\)

\( \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0}\\{AB = AD}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 1} \right) = 0}\\{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} = 8}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 3}\\{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} = 8}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 3 - x}\\{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - x - 1} \right)}^2} = 8}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 3 - x}\\{{{\left( {x - 2} \right)}^2} = 4}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 3 - x}\\{x - 2 =  \pm 2}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 3}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4}\\{y =  - 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Vậy \(D(0;3)\) hoặc \(D(4; - 1)\)