Bài 3.64 trang 134 SBT hình học 12

Giải bài 3.64 trang 134 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng...


Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((\beta )\): \(x + 3ky – z + 2 = 0\) và \((\gamma )\) : \(kx – y + z + 1 = 0\). Tìm \(k\) để giao tuyến của \((\beta )\) và \((\gamma )\) vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\): x – y – 2z + 5 = 0.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tìm VTCP của đường thẳng giao tuyến \(\overrightarrow a  = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\overrightarrow {{n_\gamma }} } \right]\).

- Sử dụng điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì \(\overrightarrow a \) cùng phương \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \).

Lời giải chi tiết

Ta có  \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = (1;3k; - 1)\) và \(\overrightarrow {{n_\gamma }}  = (k; - 1;1)\). Gọi \(d = (\beta ) \cap (\gamma )\)

Đường thẳng \(d\) vuông góc với giá của \(\overrightarrow {{n_\beta }} \) và \(\overrightarrow {{n_\gamma }} \) nên có vecto chỉ phương là:

\(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\overrightarrow {{n_\gamma }} } \right]\)\( = \left( {3k - 1; - k - 1; - 1 - 3{k^2}} \right)\)

Ta có: \(d \bot (\alpha )\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{3k - 1}}{1} = \dfrac{{ - k - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{ - 1 - 3{k^2}}}{{ - 2}}\) \( \Leftrightarrow k = 1\)