Bài 3.2 trang 107 SBT đại số và giải tích 11

Chứng minh các đẳng thức sau (với \(n \in N*\) )

LG a

\({1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = \dfrac{{n\left( {4{n^2} - 1} \right)}}{3};\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải chi tiết:

Đặt vế trái bằng \({S_n}.\)

+) Với \(n = 1,\) vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng \(\dfrac{{1\left( {4.1 - 1} \right)}}{3} = 1.\)

+) Giả sử đã có \({S_k} = \dfrac{{k\left( {4{k^2} - 1} \right)}}{3}\) với\(k \ge 1.\) Ta phải chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]}}{3}.\)

Thật vậy, ta có

\({S_{k + 1}} = {S_k} + {\left[ {2\left( {k + 1} \right) - 1} \right]^2}\) \( = {S_k} + {\left( {2k + 1} \right)^2}\) \({\rm{ = }}\dfrac{{k\left( {4{k^2} - 1} \right)}}{3} + {\left( {2k + 1} \right)^2}\) \( = \dfrac{{k\left( {2k - 1} \right)\left( {2k + 1} \right) + 3{{\left( {2k + 1} \right)}^2}}}{3}\) \( = \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\left[ {k\left( {2k - 1} \right) + 3\left( {2k + 1} \right)} \right]}}{3}\) \({\rm{ = }}\dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 5k + 3} \right)}}{3}\) \( = \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{3}\)

\(\begin{array}{l}
= \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {4{k^2} + 8k + 3} \right)}}{3}\\
= \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {4\left( {{k^2} + 2k + 1} \right) - 1} \right]}}{3}
\end{array}\)

\( = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]}}{3}\)

Suy ra đpcm.

LG b

\({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}.\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải chi tiết:

Đặt vế trái bằng \({A_n}.\)

+) Dễ thấy với \(n = 1,\) hệ thức đúng.

+) Giả sử đã có \({A_k} = \dfrac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4},\left( {k \ge 1} \right).\)

Ta cần CM \({A_{k + 1}} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}}}{4}\)

Ta có \({A_{k + 1}} = {A_k} + {\left( {k + 1} \right)^3}\) \( = \dfrac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4} + {\left( {k + 1} \right)^3}\) \( = \frac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2} + 4{{\left( {k + 1} \right)}^3}}}{4}\) \({\rm{ = }}\dfrac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 4k + 4} \right)}}{4}\) \( = \dfrac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}}}{4}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.