Bài 2.9 trang 47 SBT hình học 12

Đề bài

Một khối trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng \(r\sqrt 3 \).

Gọi A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc được tạo thành giữa đường thẳng AB và trục của khối trụ bằng 30⁰.

a) Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của khối trụ.

b) Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và B.

c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và trục của khối trụ.

Lời giải chi tiết

a) Từ A và B dựng các đường sinh AA’ và BB’ ta có thiết diện qua AB và song song với trục là hình chữ nhật AA’BB’.

Vì OO'//BB' nên góc giữa AB và OO' là góc giữa AB và BB' hay \(\displaystyle \widehat {ABB'}\).

Do đó, \(\displaystyle \widehat {ABB'} = {30^0}\).

Vậy \(\displaystyle AB' = BB'\tan {30^0} = r\sqrt 3 .{1 \over {\sqrt 3 }} = r\)

Do đó diện tích tứ giác AA’BB’ là \(\displaystyle {S_{{\rm{AA}}'BB'}} = AB'.BB' = r.r\sqrt 3  = {r^2}\sqrt 3 \)

b) Bán kính đáy qua A là OA; bán kính đáy qua B là O'B.

Vì O'B//OB' nên góc giữa OA và O’B là góc giữa OA và OB' hay \(\displaystyle \widehat {AOB'}\)

Vì AB’ = r nên AOB’ là tam giác đều, do đó \(\displaystyle \widehat {AOB}' = {60^0}\)

c) Mặt phẳng (ABB’) chứa AB và song song với trục OO’ của hình trụ.

Gọi H là trung điểm của AB’. Ta có \(\displaystyle OH \bot (ABB')\).

Đường thẳng qua H song song với OO’ cắt AB tại I.

Dựng IK // HO cắt OO’ tại K.

Ta có: \(OH \bot OO' \Rightarrow IK \bot OO'\)

Lại có \(OH \bot \left( {ABB'} \right) \Rightarrow IK \bot \left( {ABB'} \right)\) \( \Rightarrow IK \bot AB\)

Do đó IK là đoạn vuông góc chung của AB và OO'.

Mà \(\displaystyle IK = HO = {{r\sqrt 3 } \over 2}\) nên \(d\left( {AB,OO'} \right) = \frac{{r\sqrt 3 }}{2}\)