Bài 26 trang 88 Vở bài tập toán 8 tập 2

Đề bài

Dựng tam giác \(ABC\), biết \(\widehat{A}={60^o}\) và, tỉ số \(\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{4}{5}\) và đường cao \(AH = 6cm\).

Lời giải chi tiết

1. Phân tích:

Giả sử đã dựng được \(\Delta ABC\) có \(\widehat A = {60^0}\), \(AH = 6cm\) và \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{4}{5}\).

Trên tia \(AB\) vẽ điểm \(M\) sao cho \(AM = 4\) đơn vị dài.

Trên tia \(AC\) vẽ điểm \(N\) sao cho \(AN = 5\) đơn vị dài.

Ta có: \(\dfrac{{AM}}{{AN}} = \dfrac{4}{5}.\) Vậy \(\dfrac{{AM}}{{AN}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) (vì cùng bằng \(\dfrac{4}{5}\))

Suy ra \(\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AN}}{{AC}}\).

Theo định lý Ta – let đảo, \(MN//BC\). \(AH \bot BC\) nên \(AH \bot MN\) tại \(K\).

Tam giác \(AMN\) xác định thì tam giác \(ABC\) cũng được xác định. Từ đó suy ra cách dựng như sau:

2. Cách dựng:

- Dựng góc \(\widehat {xAy} = {60^0}\)

- Trên tia \(Ax\) lấy điểm \(M\) sao cho \(AM = 4\) đơn vị dài.

Trên tia \(Ay\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AN = 4\) đơn vị dài.

Vẽ đoạn thẳng \(MN\) được tam giác \(AMN\) có \(\widehat A = {60^0}\).

Vẽ đường cao \(AK\) của tam giác \(AMN\).

Trên tia \(AK\) lấy điểm \(H\) sao cho \(AH = 6cm\).

Qua \(H\) dựng đường thẳng vuông góc với \(AH\), đường thẳng này cắt tia \(Ax\) tại \(B\), cắt tia \(Ay\) tại \(C\). Tam giác \(ABC\) là tam giác phải dựng. (h.31).

3. Chứng minh:

(Ta phải chứng minh \(\Delta ABC\) có đầy đủ các yêu cầu của bài toán).

\(\Delta ABC\) có góc \(\widehat A = {60^0}\) (theo cách dựng) (1)

\(\Delta ABC\) có đường cao \(AH = 6cm\) (theo cách dựng) (2)

Mặt khác, \(MN//BC\) vì \(MN\) và \(BC\) cùng vuông góc với \(AH\))

Theo định lý Ta – let ta có: \(\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AN}}{{AC}}\) \( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AM}}{{AN}} = \dfrac{4}{5}\,\left( 3 \right)\)

Tam giác có đầy đủ ba điều kiện (1), (2), (3) theo yêu cầu của bài toán.

Vậy đó là tam giác phải dựng.