Bài 24 trang 87 Vở bài tập toán 8 tập 2

Đề bài

Chứng minh rằng nếu tam giác \(A'B'C'\) đồng dạng với tam giác \(ABC\) theo tỉ số \(k\), thì tỉ số của hai đường trung tuyến tương ứng với hai tam giác đó cũng bằng \(k\).

Lời giải chi tiết

Từ giả thiết \(\Delta A'B'C' \backsim \Delta ABC\) theo tỉ số k (h.30) nên ta có:

\(\widehat {A'} = \widehat A;\widehat {B'} = \widehat B;\widehat {C'} = \widehat C;\) \(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{A'C'}}{{AC}} = \dfrac{{B'C'}}{{BC}} = k\)

Xét hai tam giác \(\Delta A'B'M'\) và \(\Delta ABM\):

\(\dfrac{{B'C'}}{{BC}} = k\) nên \(\dfrac{{\dfrac{1}{2}B'C'}}{{\dfrac{1}{2}BC}} = k\) hay \(\dfrac{{B'M'}}{{BM}} = k\) (1)

Mặt khác \(\widehat {B'} = \widehat B\) và \(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = k\) (2) (theo giả thiết)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{B'M'}}{{BM}}\)

Theo định lý về trường hợp đồng dạng thứ hai, ta suy ra:

\(\Delta A'B'M' \backsim \Delta ABM\) \( \Rightarrow \dfrac{{A'M'}}{{AM}} = \dfrac{{A'B'}}{{AB}} = k\) (đpcm)

Vậy: nếu hai tam giác đồng dạng với nhau theo tỉ số \(k\) thì tỉ số hai trung tuyến tương ứng cũng bằng \(k\).