Bài 2 trang 143 Vở bài tập toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình thoi \(ABCD\) có \(\widehat A = {60^0}\). Gọi \(E, F, G, H\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DA\). Chứng minh rằng đa giác \(EBFGDH\) là lục giác đều.

Lời giải chi tiết

Ta có \(AE=BE, BF=CF,CG=DG,\)\(\,DH=AH\) và \(AB = BC = CD = DA\) (cạnh hình thoi) nên \(AE = EB = BF = FC = CG = GD\)\(\, = DH = HA\)

\(\Delta AEH\) có \(AE=AH\) và \(\widehat A = {60^o}\) nên là tam giác đều, suy ra \(EH=EB\)

Chứng minh tương tự ta có \(FG=BF\)

Suy ra \(HE=EB= BF=FG=GD=DH\), tức là lục giác \(EBFGDH\) có sáu cạnh bằng nhau.   (1)

Tam giác \( AEH\) đều nên \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{H_1}} = {60^o}\) suy ra \(\widehat {{E_2}} = \widehat {{H_2}} = {120^o}\).

Chứng minh tương tự ta có \(\widehat {{F_2}} = \widehat {{G_2}} = {120^o}\)

Ta có \(\widehat A + \widehat B = {180^o}\) (vì \(BC//AD\)) nên \(\widehat B = {180^o} - \widehat A = {180^o} - {60^o} = {120^o}\). Suy ra \(\widehat D = {120^o}\)

Lục giác \(EBFGDH\) có sáu góc bằng nhau (bằng \(120^o\))    (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(EBFGDH\) là lục giác đều.