Bài 1.6 trang 12 SBT hình học 12

Đề bài

Tính \(\sin \) của góc tạo bởi hai mặt kề nhau (tức là hai mặt có một cạnh chung) của một tứ diện đều.

Lời giải chi tiết

Xét tứ diện đều \(ABCD\) cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) và \(N\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD\).

Khi đó \(DM \bot AB,CM \bot AB\) \( \Rightarrow \) góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {CAB} \right)\) và \(\left( {DAB} \right)\) bằng \(\widehat {CMD} = 2\widehat {CMN}\)

Ta có: \(CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},CN = \dfrac{a}{2}\)

Do đó: \(\sin \widehat {CMN} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)\( \Rightarrow \cos \widehat {CMN} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)

Từ đó suy ra: \(\sin \widehat {CMD} = 2\sin \widehat {CMN}\cos \widehat {CMN}\)\( = 2.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\).