Giải bài 15 trang 92 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác đều \(ABC\) có độ dài cạnh là 6 cm. trên tia \(BA,CA\) lần lượt lấy điểm \(D,E\) sao cho \(AD = AE = 2cm\) (Hình 12)

a)     Tứ giác \(BCDE\) là hình gì? Vì sao?

b)    Tính độ dài đoạn thẳng \(CD\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimet).

Lời giải chi tiết

a)     Tam giác đều \(ABC\) có \(AB = BC = AC = 6cm\); \(\widehat {BAC} = \widehat {CBA} = \widehat {ACB} = 60^\circ \)

Ta có: \(\widehat {DAE} = \widehat {BAC}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\widehat {DAE} = 60^\circ \)

Tam giác \(ADE\) có \(AD = AE\) và \(\widehat {DAE} = 60^\circ \) nên \(ADE\) là tam giác đều. Suy ra \(\widehat {ADE} = 60^\circ \). Do đó \(\widehat {CBA} = \widehat {ADE}\) (vì cùng bằng \(60^\circ \)). Mà \(\widehat {CBA}\) và \(\widehat {ADE}\) nằm ở vị trí so le trong, suy ra \(BC//DE\).

Ta có: \(AB = AC\) và \(AD = AE\) nên \(BD = CE\).

Tứ giác \(BCDE\) có \(BC//DE\) và \(BD = CE\) nên \(BCDE\) là hình thang cân.

b)    Kẻ \(DH\) vuông góc với \(CE\) tại \(H\).

\(\Delta ADH = \Delta EDH\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra \(AH = EH = \frac{{AE}}{2} = 1cm\)

Trong tam giác \(ADH\) vuông tại \(H\), ta có: \(C{D^2} = C{H^2} + D{H^2}\). Suy ra \(C{D^2} = 52\)

Vậy \(CD = \sqrt {52}  \approx 7,2\left( {cm} \right)\).