Bài 1.2 trang 24 SBT toán 8 tập 1

Trong mỗi trường hợp sau hãy tìm hai đa thức \(P\) và \(Q\) thỏa mãn đẳng thức:

LG a

\(\displaystyle {{\left( {x + 2} \right)P} \over {x - 2}} = {{\left( {x - 1} \right)Q} \over {{x^2} - 4}}\)

Phương pháp giải:

Hai phân thức \( \dfrac{A}{B}\) và \( \dfrac{C}{D}\) gọi là bằng nhau nếu \(AD = BC\).

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {{\left( {x + 2} \right)P} \over {x - 2}} = {{\left( {x - 1} \right)Q} \over {{x^2} - 4}}\)

\( \Rightarrow \left( {x + 2} \right)P.\left( {{x^2} - 4} \right)\)\(\, = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)Q\)

\( \Rightarrow \left( {x + 2} \right)P.\left( {{x^2} - 4} \right) \)\(\,= \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)Q\)

\( \Rightarrow P.{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 2} \right) \)\(\,= Q\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow P = \frac{{Q\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}} \)\(\, \displaystyle = \frac{{Q\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

Chọn \(Q  = {\left( {x + 2} \right)^2} = {x^2} + 4x + 4\) \( \Rightarrow P  = x - 1\)

LG b

\(\displaystyle {{\left( {x + 2} \right)P} \over {{x^2} - 1}} = {{\left( {x - 2} \right)Q} \over {{x^2} - 2x + 1}}\)

Phương pháp giải:

Hai phân thức \( \dfrac{A}{B}\) và \( \dfrac{C}{D}\) gọi là bằng nhau nếu \(AD = BC\).

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {{\left( {x + 2} \right)P} \over {{x^2} - 1}} = {{\left( {x - 2} \right)Q} \over {{x^2} - 2x + 1}}\)

\( \Rightarrow \left( {x + 2} \right).P.\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\)\(\, = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 2} \right).Q\)

\( \Rightarrow P.\left( {x + 2} \right){\left( {x - 1} \right)^2} \)\(\,= Q.\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)

\( \displaystyle \Rightarrow P = \frac{{Q.\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)\(\, \displaystyle= \frac{{Q\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

Chọn \(Q = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = {x^2} + x - 2\)

\( \Rightarrow P  = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} - x - 2\)

Chú ý: Bài toán có nhiều đáp án phụ thuộc vào cách chọn đa thức \(Q\).