Bài 11.6 trang 30 SBT Vật lí 11

Đề bài

Có \(N_1\) bóng đèn cùng loại 3V-3W và \(N_2\) nguồn điện có cùng suất điện động E=4V và điện trở trong \(r_0=1 \Omega\) được mắc thành bộ nguồn hỗn hợp đối xứng.

a) Nếu số bóng đèn là \(N_1=8\) thì cần số nguồn ít nhất \(N_2\) min là bao nhiêu để các đèn này sáng bình thường? Vẽ sơ đồ các cách mắc nguồn và đèn khi đó và tính hiệu suất của bộ nguồn trong từng trường hợp.

b) Nếu số nguồn là \(N_2 = 15\) thì có thể thắp sáng bình thường số đèn lớn nhất \(N_1\) max là bao nhiêu? Vẽ sơ đồ tất cả các cách mắc nguồn và đèn khi đó và tính hiệu suất của bộ nguồn đối với từng cách mắc đó. 

Lời giải chi tiết

a) Để các đèn cùng loại sáng bình thường thì các đèn thành các dãy song song, mỗi dãy có cùng một số đèn mắc nối tiếp. Gọi số dãy các đèn mắc song song là x và số đèn mắc nối tiếp là y thì theo đầu bài ta xét trường hợp có tổng số đèn là : \(N_I= xy = 8\).

Giả sử bộ nguồn hỗn hợp đối xứng gồm n dãy song song và mỗi dãy gồm m nguồn được mắc nối tiếp (Hình 11.4G). Khi đó bộ nguồn gồm \(N_2 = mn\) nguồn và có suất điện động là : \(E_b = mE_0= 4m\) và có điện trở trong là

\({r_b} = \dfrac{mr_0}{n} = \dfrac{m}{n}\)

 Các trị số định mức của đèn là : U_Đ = 3 V ; P _Đ = 3 W do đó I_Đ = 1 A.

Cường độ dòng điện mạch chính là :

\(I = xI_Đ = x\)

Hiệu điện thế mạch ngoài là : \(U = yU_Đ = 3ỵ.\)

Theo định luật Ôm ta có : \(U = E_b – Ir_b\) hay \(3y = 4m - x {\dfrac{m}{n}}\)

Từ đó suy ra \(3yn + xm = 4mn \)                     (1)

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :  

\(3yn + xm \ge 2\sqrt {3mnxy} \)          (2)

Kết hợp (1) và (2) trong đó chú ý là \(N_1 = xy = 8\) và \(N_2 = mn\) ta tìm được: N₂ ≥ 6

Vậy số nguồn ít nhất tà N₂(min) = 6 để thắp sáng bình thường bóng đèn.

Để vẽ được sơ đồ các cách mắc nguồn và đèn cho trường hợp này ta lại xét phương trình (1) trên đây, trong đó thay trị số \(N_2= mn = 6\); \(y =\dfrac{N_1}{x} = \dfrac{8}{x}\)
  ta đi tới phương trình : \(yn^2 – 8n + 2x = 0\)

Phương trình này có nghiệm kép (Δ’ = 0) là : \(n = \dfrac{4}{y}\)
Chú ý rằng x, y, n và m đều là số nguyên, dương nên ta có bảng các trị số này như sau :

Như vậy trong trường hợp này chỉ có hai cách mắc các nguồn và các bóng đèn là

- Cách một : Bộ nguồn gồm n = 2 dãy song song, mỗi dãy gồm m = 3 nguồn mắc nối tiếp và các bóng đèn được mắc thành x = 4 dãy song song với mỗi dãy gồm y = 2 bóng đèn mắc nối tiếp (Hình 11.5Ga).

Cách mắc này có hiệu suất là : \(H_1 = 6/12 = 50\%\)

- Cách hai : Bộ nguồn gồm n = 1 dãy gồm m = 6 nguồn mắc nối tiếp và các bóng đèn được mắc thành X = 2 dãy song song với mỗi dãy gồm y = 4 bóng đèn mắc nối tiếp (Hình 11.5Gb).

Cách mắc này có hiệu suất là : H₂ = 12/24 = 50%

b) Nếu số nguồn là N₂ = mn = 15 và với số đèn là N₁ = xy ta cũng có phương trình (1) và bất đẳng thức (2) trên đây. Kết quả là trong trường hợp này ta có :

3yn + xm = 4mn ≥ 2 \(\sqrt {3mnxy} \)  hay 60 ≥ 2  \(\sqrt {45{N_1}} \)

Từ đó suy ra : N₁ ≤ 20. Vậy với~số nguồn là N₂ = 15 thì có thể thắp sáng bình thường số đèn lớn nhất là N₁ = 20.

+ Để tìm được cách mắc nguồn và đèn trong trường hợp này ta có xỵ = 20  hay y = 20/x.

Thay giá trị này vào phương trình (1) ta đi tới phương trình :

mx² – 60x + 60n = 0

Phương trình này có nghiêm kép (Δ' = 0) là : x = 30/m.

Chú ý rằng x, y, n và m đều là số nguyên, dương nên ta có bảng các trị số này như sau :

Như vậy trong trường hợp này chỉ có hai cách mắc các nguồn và các bóng đèn là :

- Cách một : Bộ nguồn gồm n = 5 dãy song song, mỗi dãy gồm \(m - 3\) nguồn mắc nối tiếp và các bóng đèn được mắc thành \( X - 10\) dãy song song với mỗi dãy gồm \( y - 2 \) bóng đèn mắc nối tiếp (Hình 11.6Ga).

Cách mắc này có hiệu suất là : \(H_1 = \dfrac{6}{12} = 50\%\)

- Cách hai : Bộ nguồn gồm n = 1 dãy có m = 15 nguồn mắc nối tiếp và các bóng đèn được mắc thành x = 2 dãy song song với mỗi dãy gồm y = 10 bóng đèn mắc nối tiếp (Hình 11.6Gb).

Cách mắc này có hiệu suất là : \(H_2= \dfrac{30}{60} = 50\%\)