Bài 1.12 trang 20 SBT hình học 11

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(I(1;2)\), \(M(-2;3)\), đường thẳng \(d\) có phương trình \(3x-y+9=0\) và đường tròn \((C)\) có phương trình: \(x^2+y^2+2x-6y+6=0\). Hãy xác định tọa độ của điểm \(M’\), phương trình của đường thẳng \(d’\) và đường tròn \((C’)\) theo thứ tự là ảnh của \(M\), \(d\) và \((C)\) qua

LG a

Phép đối xứng qua gốc tọa độ;

Phương pháp giải:

Sử dụng biểu thức tọa độ của tâm đối xứng:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(I=(x_0; y_0)\), gọi \(M=(x;y)\) và \(M’=(x’;y’)\) là ảnh của \(M\) qua phép đối xứng tâm \(I\). Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 2{x_0} - x\\y' = 2{y_0} - y\end{array} \right.\)

Trong bài này tâm đối xứng là \(O(0;0)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x' =  - x\\y' =  - y\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M’\),\(d’\) và \((C’)\) theo thứ tự là ảnh của \(M\), \(d\)và \((C)\) qua phép đối xứng qua \(O\).

M(-2;3) nên \(M’=(2;-3)\)

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x' =  - x\\y' =  - y\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - x'\\
y = - y'
\end{array} \right.\)

Phương trình của \(d’\): \(3(-x)-(-y)+9=0\)\(\Leftrightarrow 3x-y-9=0\)

Phương trình của đường tròn \((C’): {(-x)}^2+{(-y)}^2+2(-x)-6(-y)+6=0\) \(\Leftrightarrow (C’): x^2+y^2-2x+6y+6=0\)

LG b

Phép đối xứng qua tâm \(I\). 

Phương pháp giải:

Sử dụng biểu thức tọa độ của tâm đối xứng:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(I=(x_0; y_0)\), gọi \(M(x;y)\) và \(M’(x’;y’)\) là ảnh của \(M\) qua phép đối xứng tâm \(I\). Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 2{x_0} - x\\y' = 2{y_0} - y\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M’\),\(d’\) và \(C’\) theo thứ tự là ảnh của \(M\), \(d\) và \(C\) qua phép đối xứng qua \(I\).

Vì \(I\) là trung điểm của \(MM'\) nên \(M’=(4;1)\)

Vì \(d’\) song song với \(d\) nên \(d’\) có phương trình \(3x-y+C=0\). Lấy một điểm trên \(d\), chẳng hạn \(N(0;9)\).

Khi đó ảnh của \(N\) qua phép đối xứng qua tâm \(I\) là \(N’(2;-5)\).

Vì \(N’\) thuộc \(d\) nên ta có \(3.2-(-5)+C=0\). Từ đó suy ra \(C=-11\).

Vậy phương trình của \(d’\) là \(3x-y-11=0\).

Để tìm \((C’)\), trước hết ta để ý rằng \((C)\) là đường tròn tâm \(J(-1;3)\), bán kính bằng \(2\).

Ảnh của \(J\) qua phép đối xứng qua tâm \(I\) là \(J’(3;1)\).

Do đó \((C’)\) là đường tròn tâm \(J’\) bán kính bằng \(2\).

Phương trình của \((C’)\) là \({(x-3)}^2+{(y-1)}^2=4\).